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Mathe-Quali vor 1999: Aufgaben mit Lösungen

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zurück QA-1998: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Löse mithilfe einer Gleichung:
aldi-tastenAddiert man 9 zum Fünfachen einer Zahl, multipliziert die Summe mit 4 und vermindert das Produkt um 20, so erhält man halb so viel, wie wenn man das Zehnfache der gesuchten Zahl von 82 subtrahiert. Wie heißt die Zahl?

Lösung

(5 x + 9) * 4 - 20 = (82 -10 x) : 2

   20 x + 36   - 20  = 41 - 5 x

   20 x + 16           = 41 - 5 x            | + 5 x

   25 x + 16           = 41                    | - 16

   25 x                    = 25                    | : 25

        x                    =  1

zurück QA 1998: Aufgabengruppe V/1

  1. Der Kopf eines Trennmeißels (siehe Skizze; Maße in mmm) QA-1998-V-1bist aus Stahl gefertigt. Bestimme seine Masse in kg.

Berechne die Masse des fertigen Werkstücks in kg.


Hinweis: DichteStahl: 8,6 g/cm3. 
              Rechne mit ¶ = 3,14.

Lösung

Volumen = Oberteil + Spitze - Öffnung

Oberteil
VOberteil =    A * hk
qa.1998-V-1cVOberteil = 60 * 45 * 50 = 135000 mm³

Öffnung
VÖffnung = Quader + Kreissäule
VÖffnung = 20*20*50 + 10*10* ,14*50 =
            =     20 000  +    15700          =
            =             35 700 mm³

Zur Berechnung des Volumens der Spitze muss man die Höhe des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras ermitteln.

h² = 37,5² - 22,5²
h² = 1406,25 - 506,25
h² =       900                | √
h   =        30 mm

Spitze
VSpitze =         A         * hk
VSpitze = 45 * 30 / 2   * 50 =
           =      33750 mm³

Gesamtvolumen
135 000 mm³ + 33 500 mm³ - 35 700 mm³ = 133 050 mm³

Masse
133 050 mm³ = 133.05 cm³
    1,00 cm³ = 8,6 g
133,05 cm³ = 8,6 * 133,05 = 1 144,23 g ≈ 1,144 kg

zurück QA 1998: Aufgabengruppe V, Nr. 3

  1. Ein Taxiunternehmer kauft einen Neuwagen zum Preis von 66 000 DM.qa-1998-V-3Das vorherige Fahrzeug wird mit einer Wertminderung von 12 000 DM in Zahlung genommen, so dass er noch 75 % des damaligen Neupreises erhält. An Eigenkapital werden 16 600 DM Den Restbetrag leiht sich der Unternehmer von seiner Bank zu einem Zinssatz von 7 ½ Prozent.
    1. Errechne den Neupreis des vorherigen Taxis.
    2. Wie hoch ist der Restbetrag?
    3. Berechne die monatliche Zinsbelastung.
    4. Von einer anderen Bank wurde ihm ein Kredit angeboten, bei dem im ersten Jahr 1038,50 DM an Zinsen anfallen würden. Bestimme den Zinssatz.

Lösung

  1. Neupreis des vorigen Taxis
      25 % = 12 000 DM
        1 % = 12 000 DM : 25 =  480 DM
    100 % = 480 DM * 100 = 48 000 DM.
  2. Fehlender Restbetrag für das neue Taxi
    Wert des alten Taxis: Neupreis - Wertminderung
    48 000 DM - 12 000 DM = 36 000 DM
    Restbetrag = Neupreis - altes Taxi - Eigenkapital
    Restbetrag = 66 000 DM - 36 000 DM - 16 600 DM = 13 400 DM
  3. Zinsbelastung im Jahr
    100 % = 13 400 DM
        1 % = 13 400 DM : 100 = 134 DM
      7,5 % = 134 DM * 7,5 = 1 005 DM
    Zinsbealstung im Monat
    12 Monate = 1 005 DM
      1 Monat   = 1 005 DM : 12 = 83,75 DM
  4. Zinssatz der anderen Bank
    100 % = 13 400 DM
        1 % = 13 400 DM : 100 = 134 DM
     1 038,50  : 134   = 7,75 %

zurück QA 1998: Aufgabengruppe IV/2

Eine Leuchtmittelfirma entwirft für ein Unternehmen ein Logo (siehe Skizze

QA-1998-IV-2b

; Maße in m). Berechne die hellblau dargestellte Acrylglasfläche.
Hinweis: Rechne mit  ¶ = 3,14.

Lösung

Die hellblaue Fläche besteht aus einem Kreis, bei dem ein kleiner Kreis fehlt, und einem Quadrat, bei dem 2 rechtwinklige Dreiecke und ein Halbkreis fehlen.

Kopf
AKopf = Agroßer Kreis - Akleiner Kreis

AKopf = 1,2² * 3,14 - 0,6² * 3,14 =
         =     4,5213    -    1,1304    =
         =              3,3912

Rumpf
ARumpf = ARechteck - 2 * ADreieck - AHalbkreis

ARumpf = 2,4 * 2,4 - 2 * 1 * 0,75 : 2 - 0,6² * 3,14 : 2 =
            =     5,79   - 2 *       0,375    -      0,5652        =
            =                       7,836 m²


 

 

zurück QA 1998: Aufgabengruppe III/2

  1. Ein Briefbeschwerer aus Marmor hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (A = 9 cm²)
    1. QA-1998-III-2aBerechne die Masse des Briefbeschwerers, wenn die Dichte von Marmor 2,8 g pro cm³ beträgt.
    2. Die Oberfläche des Briefbeschwerers soll hochglanzpoliert werden. Die Firma verlangt einschließlich Mehrwertsteuer 1,65 DM pro cm². Was kostet das Polieren?

Hinweis: Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen!

Lösung

  1. Volumen des Briefbeschwerers
    V = A * hk / 3
    V = 9 *  4  / 3 = 12 cm³
    Masse
      1 cm³ = 2,8 g
    12 cm³ = 2,8 g * 12 = 33,6 g
  2. Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
    QA-1998-III-2bA = a²
    9 = a²    |√
    a = 3 cm
    Höhe eines Seitendreiecks
    sh² = 4² + 1,5²
    sh² = 16 + 2,25
    sh² =     18,25
    sh   =     4,27 cm²
    Oberfläche = Grundfläche + 4 *   Seitendreieck
    Oberfläche =       9 cm²    + 4 *  3 * 4,27 /2 =
                     =       9 cm²    + 4 *     6,405      =
                     =                   34,62 cm²
    Preis fürs Polieren
      1,00 cm² = 1,65 DM
    34,62 cm² = 1,65 DM * 34,62 = 57,12 DM

zurück QA 1998: Aufgabengruppe II/2

Ein kreisrunder Pavillon mit einem Umfang von 18,84 m erhält ein kegelförmiges Kupferdach, das 1,6 m hoch ist.

  1. Wie viele m² Kupferblech werden benötigt, wenn 15 % Verschnitt hinzugerechnet werden müssen?
  2. Wie teuer wird das Dach des Pavillons, wenn für die Montage 2 245 DM berechnet werden und 1 m² Kupferblech 56 DM kostet?

Hinweis: Rechne mit  = 3,14. Runde alle Zwischenergebnisse auf zwei Dezimalstellen!

Lösung

  1. Durchmesser und Radius des Pavillons
    QA-1998-II-2bU = d * 3,14
    18,84 = d * 3,14     | : 3,14
    d = 6 m;  r = 3 m
    Seitenhöhe des Daches
    s² = 3² + 1,6²
    s² =  9  + 2,56
    s² =     11,56         | √
    s   =      3,4 m
    Fläche des Dachkegels
    A = r * s * 3,14
    A = 3 * 3,4 * 3,14 = 32,03 m²
    Kupferblech mit Verschnitt
    100 % = 32,03 m²
        1 % = 0,3203 m²
    115 % = 0,3203 m² * 115 = 36,83 m²
  2. Kosten fürs Kupferblech
      1,00 m² = 56 DM
    36,83 m² = 56 DM * 36,83  = 2 062,48 DM
    Blech mit Montage
    2 062,48 DM + 2 245 DM = 4 307,48 DM

zurück QA 1998: Aufgabengruppe I/2

Aus einem 1,20 m langen Balken aus Eichenholz werden der Länge nach zwei gleich große Kehlungen und eine Schwalbenschwanznut in Form eines gleichschenkligen Trapezes herausgefräst (siehe Querschnittskizze).
Berechne die Masse des fertigen Werkstücks in kg.

QA-1998-I-2
Hinweis: DichteEichenholz: 0,86 g/cm3.  Rechne mit ¶ = 3,14.
Runde alle Ergebnisse - auch Zwischenergebnisse - auf zwei Dezimalstellen!

QA 1998 I 2c Lösung

VBalken = VRechtecksäule - 2 VViertelzylinder - VTrapezssäule


Volumen des Balkens ohne Ausfräsungen

V =    ARecteck   * hk
V =   18 * 12    * 120 = 25 920 cm³

Volumen der beiden ausgefrästen Viertelkreise
V = 2 *     AViertelkreis    *  hk   : 4
V = 2 *     r² * 3,14       * hk    : 4
V = 2 *     5² * 3,14     * 120 : 4 =
   = 2 *             9 420              : 4 =
    =             4 710 cm³


Höhe des Trapezes

h² =   4,5² - 2,5²
h² = 20,25 - 6,25
QA 1998 I 2bh² =        14             √
h   =        3,74 cm

Volumen der Trapezsäule
V =       ATrapez               * hk
V = (a  + c ): 2 *   h       * hk
V = (8 + 3) : 2 * 3,74   * 120
   =          2 468,4 cm³

Volumen nach dem Fräsen
25 920 cm³ - 4 710 cm³ - 2 470 cm³ = 18 740 dm³

Gewicht nach dem Fräsen
         1 cm³ = 0,86 g
18 74o dm³ = 0,86 g * 18 740 = 16 116,4 g ≈ 16,12 kg

 

 

 

zurück QA 1998: Aufgabengruppe  II, Nr. 4

  1. Frisch auf den Tisch

Pro-Kopf-Verbrauch an Ost in Deutschland
im Wirtschaftsjahr 1996/97
in Kilogramm
Äpfel 16,5   Trauben 4,0
Banannen 13,0   Pfirsiche 3,5
Apfelsinen    10,3   Sonstigs Obst 47,2

    1. Berechne den Gesamtverbrauch an Obst pro Kopf im Wartschaftsjahr 1996/97.
      Gesamtverbrauch
      16,5 + 13,0 + 10, 3 + 4,0 + 3,5 + 47,2 = 94,5 kg
    2. Wie hoch ist der Pro-Kopf-Verbrauch an Bananen je Person in Prozent? Runde auf zwei Dezimalstellen.
      Obstverbrauch pro Kopf: 94,5 kg; davon13,0 kg Bananen
      100 % = 94,5 kg
          1 % = 94,5 kg : 100 = 0,945 kg
      13,0 : 0,945 = ≈ 13,76 %
    3. Die vierköpfige Familie Weber verzehrt monatlich insgesamt 6,6 kg Äpfel. Um wie viel Prozent liegt sie über dem durchschnittlichen Verbrauch?
      Jahresverbrauch der 4 Personen
      6,6 kg * 12 = 79,2 kg
      Jahresverbrauch einer Person der Familie
      79,2 kg : 4 = 19,8 kg
      Mehrverbrauch in kg
      19,8 kg - 16,5 kg = 3,3 kg
      Mehrverbrauch in Prozent
      100 % = 16,5 kg
          1 % = 16,5 kg : 100 = 0,165 kg
      3,3 : 0,165 = 20 %
    4. QA-1998-II-4bStelle die Anteile am Obstverbrauch in einem Kreisdiagramm (r = 5 cm) dar. Runde auf ganze Grad.
      94,5 kg = 360°
        1,0 kg = 360° : 94,5 ≈ 3,81°
      16,5 kg = 3,81° * 16,5 ≈  63°
      13,0 kg = 3,81° * 13,0 ≈  50°
      10,3 kg = 3,81° * 10,3 ≈  39°
        4,0 kg = 3,81° * 4,0 ≈  15°
        3,5 kg = 3,81° * 3,5 ≈  13°
      47,2 kg = 3,81° * 47,2 ≈ 180°

zurück QA 1997: Aufgabengruppe II/4

QA-1997-II-4Der Fußboden einer Eingangshalle wird mit verschiedenfarbigem Marmor ausgelegt (siehe Skizze ):
Die kleinen Kreise (r1 = 1m) werden mit gelben, der Rest des großen Kreises (r2 = 3m) mit blauen und der Rest des Quadrates (a = 8 m) mit weißen Marmorstücken ausgelegt. Folgende Tabelle gibt die Kosten pro m² und den Verschnitt an:

  Kosten pro m2 Verschnitt
weißer Marmor 135 DM 10 %
gelber Marmor 145 DM 15 %
blauer Marmor 160 DM 15 %

Wie teuer kommt der Marmor für die abgebildete Fläche?
Hinweis: Rechne mit  = 3,14

Lösung

1.Kosten für den gelben Marmor 
   Fläche der sieben Kreise
   A = 7 * r² * 3,14
   A = 7 * 1² * 3,14 = 21,98 m²
   Plus 15 % Verschnitt
   21,98 : 100 * 115 = 25,277 m²
   Preis in DM
   25,277×145 = 3 665,165 DM

2. Kosten für den blauen Marmor
   Fläche = Blauer Kreis - 7 gelbe Kreise
   A = 3² * 3,14 - 21,98 = 6,28 m²
   Plus 15 % Verschnitt
   6,28 : 100 * 115 = 7,222 m²
   Preis in DM
   7,222 × 160 = 1155,52 DM

3. Kosten für den weißen Marmor
   Fläche = Weißes Quadrat - blauer Kreis
   A = 8 * 8 - 3² * 3,14 = 35,74 m²
   Plus 10 % Verschnitt
   35,74: 100 * 110 = 39,314 m²
   Preis in DM
   39,314 135 = 5307,39 DM

4. Gesamtkosten
    3 665,165 +1 155,22 + 5 307,39 = 10 128,075 DM ≈ 10 128,18 DM

<a zurück QA 1996: Aufgabengruppe V/2

QA-1996-V-2In einem Freizeitbad soll ein 80 cm tiefer Whirlpool eingebaut werden. Die Maße entnimm der Skizze, die den Whirlpool von oben gesehen darstellt.
Längenmaße in m!

  1. Der Beckenboden und die Innenwände des Pools sollen gefliest werden. Wie viele m² Fliesen müssen bestellt werden, wenn mit einem  Verschnitt von 5 Prozent gerechnet werden muss?
  2. Um den Beckenrand soll ein rutschfester Belag verlegt werden. 1 m² kostet 67 DM. Wie teuer kommt der Belag?

Hinweise: Rechne mit ¶ = 3,14. Runde alle Ergebnisse - auch Zwischenergebnisse - auf 2 Dezimalstellen!

Lösung

a) Beckenboden
    ABoden = r² * 3,14 : 360 * 240
 QA 1996 V 2a   ABoden = 1,8 × 1,8 × 3,14 : 360 × 240 = 6,7824 m² ≈ 6,78 m²
   



 



QA 1996 V 2b b) Wände
    AWand = 2 × (1,8 × 0,8) + 3,6 × 3,14 × 0,8 : 360 × 240 =

                =        2,88           +                6,0288                      =
                 =                    6,0288               ≈      6,03 m²  

 


   Fliesen einschließlich Verschnitt

   (2,88 + 6,03 + 6,78) : 100 × 105 = 16,4745 ≈ 16,48 m²
  

c) Rutschfester Belag
QA 1996 V 2c     ABeleag = (          Agr. Kreis   -               Akl. Kreis) : 360 * 240
    ABeleag = (2,1 * 2,1 * 3,14 - 1,8 * 1,8 * 3,14) : 360 * 240 =
                 = (       13,8474      -      10,1736      ) : 360 * 240 =
                 =                     2,4492 ≈ 2,45 m²
   Preis für den Belag
   2,45 * 67 = 164,15 DM

 

 

 

zurück QA 1996: Aufgabengruppe II/3

Aus Bandstahl mit einer Dicke von 5 Millimetern werden Bauelemente gestanzt. (siehe Skizze).
Berechne die Masse eines Bauelements.
QA-1996-II-3
Dichte von Stahl ist 7,8 g/cm³. Rechne mit ¶ = 3,14.

Lösung

1. Grundfläche des Bandstahls
QA 1996 II 3 Loes

    ABandstahl =         ATrapez             - 5 * AKreis         -  5 * ARechteck
    ABandstahl = (680+800)÷2×100 - 5 * 25² * 3,14 - 5 * 50 * 50 =
                     =
    74 000                   -    9 812,5        -    12 500    =
                     =                           51 687,5 mm²

2. Volumen des Bandstahls
    VBandstahl  =       A      * hk
    
VBandstahl  = 51 687,5 mm² * 5 mm = 258 437,5 mm³

3. Masse eines Elements
    7,8 * 258,4375 = 2015,8125 g

zurück QA 1995: Aufgabengruppe IV/2

2  a) Die in der Skizze dargestellte Hoffläche wird mit Randsteinen eingefasst.
        Berechne den Umfang der Hoffläche. (QS = 26)
    b) Die Hoffläche wird mit einer 8 cm dicken Asphaltschicht belegt.
        Wie teuer kommt das Material, wenn eine Tonne (t) Asphalt 185 DM kostet?

    (Dichte von Asphalt ist 2,3 t/; alle Maße in cm).

QA 1995 IV

Lösung

a) Umfang
   Bis auf die Schräge kann man die fehlenden Seiten leicht den Angaben 
   der Skizze entnehmen.
      
QA 1995 IV 2 Loes2Die Schräge  ist die Hypotenuse eines rechtwinklgen Dreieicks (Pythagoras).
   s² = 130² + 120²
   s
² = 16 000 + 14 400
   s² =     31 300
   s  =    176,918.. ≈ 177 cm
   U = 177 + 480 # 320 # 120 + 210 + 480 + 400 = 2187 cm = 21,87 m

 

 

QA 1995 IV 2 Loes32. Hoffläche
    A = Großes Recht - Dreieck - kleines Rechteck
    A = 600 * 530 - 130 : 120 / 2 - 120 * 210 = 277 200 cm² = 27,72 m³
    Teervolumen
     V = 27,72 * 0,08 = 2,2176 m³
    Benötigter Asphalt
    1 m³            : 2,3 t  
     2,2176 m³ : 2,3 * 2,2176 = 5,10048 t ≈ 5,100 t
   Kosten für den Asphalt
  1 t     : 185 DM
   5,1 t : 185 DM * 5,100 *= 943,50 DM

 

 

 

 

zurück QA 1995: Aufgabengruppe II/2

qa 1995 II 2 LoesEine Firma stellt ihre Produkte auf einer Fläche aus, die die Form eines regelmäßigen Fünfecks hat.
Eine Fünfeckseite misst 6,8 m. Der Abstand der fünf Eckpfosten vom Mittelpunkt des Fünfecks beträgt jeweils 5,8 m.

  1. Zeichne eine Skizze und trage die angegebenen Maße ein.
  2. Berechne die Ausstellungsfläche. Runde auf ganze m².
  3. Wie viel Standgebühr muss die Firma bezahlen, wenn 1 m² Ausstellungsfläche 39 DM kostet.?
  4. Auf die Standgebühr erhebt die Messegesellschaft einen 30 %igen Aufschlag. Wie hoch sind die Gesamtkosten für die Ausstellungsfläche, wenn dann noch 15 % MwSt dazukommen?

Lösung

1. Höhe des Biestimmungsdreiecks
   Kurze Seite: 6,8 m : 2 = 3,4 m
   3,4²    +  h²  = 5,8²
   11,56 + h²  = 33,64   | - 11,56
                 h²  = 22,08    | √
                 h   = 4,70 [m]

qa 1995 II 2 Loes 22. Ausstellungslfäche (Fünfeck)
   A = 5 * Bestimmungsdreieck
   A = 5 * 6,8 m * 4,7 m : 2 = 79,9 m² ≈ 80 m²

3. Standgebühr
     1 m²:  39 DM
   80 m²:  39 DM * 80 = 3 120 DM

4. Standgebühr mit 30 % Aufschlag
   3 120 DM + 3120 DM : 100 * 30 =
   3 120 DM +     936 DM                  = 4 056 DM

5. Gesamtkosten incl. 15 % MwSt.
   100 %:  4 056 DM
        1 %:  40,56 DM
   115 %:  40,56 DM * 115 = 4 704,96 DM

zurück qa 1994 V 2QA 1994: Aufgabengruppe V/2

Berechne die Fläche des Werkstücks. (Rechne mit p = 3,14!).
Alle Maße in mm!

 

Lösung

AWerkstück = ATrapez -
                   - ADreieck -
                   - ADreiviertelkreis -
                   - ARechtieck

qa 1994 V 2 Loes 1

Dreieckslfläche

  ADreieck = ½ * 40 * 20 =400 mm²




qa 1994 V 2 Loes 2Drei Viertel der Kreislfläche

  AKreis = 10² *3,14 : 4 * 3 = 235,5 mm²

 

 

 

qa 1994 V 2 Loes 3Rechteckslflächeqa 1994 V 2 Loes
  ARechteck = 20 * 15 = 300 mm²




Höhe des Trapezes (Pythagoras)
   85²    = h²+ 13²
  7 225 = h² + 169
  7 056  = h²

        84 = h

Trapezfläche
   ATrapez = (66+40) : 2 * 84 = 4 452 mm²

Fläche des Werkstücks
  4 452 mm² - 400 mm² - 235,5 nn² - 300 mm" = 3 516,5 mm²

 

 

 

zurück QA 1994: Aufgabengruppe IV/3

Vor mehr als 4 000 Jahren benutzten die Ägypter Schnüre, um nach der jährlichen Nilüberschwemmung das Land neu zu vermessen. Diese Schnüre formten sie zu rechtwinkligen Dreiecken, deren Seiten a, b, c stets im Verhältnis
3 : 4 : 5 zueinander standen.

  1. Wenn die kürzeste Dreiecksseite 9,60 m lang war, wie lang mußten dann die beiden anderen Seiten sein, damit das Dreieck rechtwinklig war?
  2.  Welche Längen mußte man ein 21,60 m langes Seil einteilen, damit daraus ein rechtwinkliges Dreieck geformt werden konnte, ohne dass ein Rest übrig blieb?
  3.  Überprüfe, ob die Ergebnisse von Aufgabe b) tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Wende den Satz des Pythagoras an!

Lösung

  a) Länge der beiden anderen Seitenqa 1994 iv 3 Loes

3 Teile: 9,60 m (kürzeste Schnur)
1 Teil:   9,60 : 3 = 3,20 m
4 Teile: 3,20 * 4 = 12,80 m
5 Teile: 3,20 * 5 = 16,00 m

  b) Einteilung der 21,60 m

Teile insgesamt: 3 + 4 + 5 = 12
12 Teile: 21,60 m
  1 Teil:   21,60 : 12 = 1,8 m
  3 Teile: 1,8 m * 3 = 5,4 m
  4 Teile:  1,8 m * 4 = 7,2 m
  5 Teile:  1,8 m * 5 = 9,0 m

  c) Prüfung mit dem Satz des Pythagoras

5,4²    +    7,2² = 12²
29,16 + 51,84  = 144
         144         = 144

 

zurück qa-1994-II-1QA 1994: Aufgabengruppe II/1

a) Zeichne das Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Fünfecks mit 4 cm Seitenlänge (siehe Doppelpfeil).
b) Konstruiere das Fünfeck zu einem regelmäßigen, sternförmigen Vieleck durch Konstruktion nach folgender Skizze:

Lösung

  • Strecke AB mit 4 cm zeichnen
  • Winkel α ausrechnen: (180° - 360° : 5) : 2 = 54°
  • An A und B 54°-Winkel abtragen
  • Der Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der Winkelschenkel
  • Die Punkte A, B und M zum Bestimmungsdreieck ABM verbinden
  • Kreis um M mit r = 4 cm zeichnen
  • Die restlichen 3 Ecken bestimmen
  • Die 5 Ecken zu einem Fünfeck verbinden
  • Die 5 Sternzacken (gleichseitige Dreiecke) konstruieren

 QA 1994 II 1 Loes

zurück QA 1994: Aufgabengruppe I/1

qa-1994-I-1Aus einer kreisförmigen Platte soll eine möglichst große quadratische Fläche ausgeschnitten werden.
a) Zeichne im Maßstab 1 : 40.
b) Berechne die Länge einer Quadratseite in Zentimeter.
c) Vergleiche den Umfang des Quadrates mit dem Umfang des Kreises und gib den Unterschied in Zentimeter an.
d) Wie viel Prozent Abfall ergibt sich bei der Anfertigung des Quadrats?
Beachte:
- Runde alle Ergebnisse auf 1 Stelle nach dem Komma.
- Rechne mit ¶ = 3,14!
- Bei b), c), d) sind die Originalmaße gefragt!

Lösung

b) Länge einer Quadratseite (Pythagoras)
    s² = 100² + 100²
    s² = 10 000 + 10 000
qa 1994 I 1 Loes    s² = 20 000
    s  = 141,42.. ≈ 141,4 cm

c) Umfang des Kreis
   200 * 3,14 = 628 cm
    Umfang des Quadrates
    4 * 141,42 = 565,6 cm
    Unterschied
    628 - 565,6 = 62,4 cm

d) Kreisfläche
    100² * 3,14 = 31 400 cn²
    Quadratfläche
    2 * 200 * 100 : 2 =20 000 cm²
    Abfall
    31 400 - 20 000 = 11 400 cm²
    100 %: 31 400 cm"
        1 %:     314 cm²
    11 400 cm² : 314 cm² = 36,30.. ≈ 36,3 [%]

zurück QA 1993: Aufgabengruppe I/3

Aus einem rechteckigen Aluminiumblech wird folgende Frontplatte für ein Meßgerät gestanzt (siehe weiße Fläche). Dabei wird aus dem gleichseitigen Trapez der Teil eines Kreisrings für die Skala ausgespart.

qa 1993 I 3

Gib den Abfall ( gepunktete Fläche) in Prozent an.
Hinweis: Runde den Prozentsatz auf eine Dezimalstelle)
qa 1993 I 3aLösung

1. Fläche des Aluminumblechs
   ABlech = 23 * 13 = 299 cm²

2. Höhe des Trapez (Pythagoras
   Kurze Dreieckseite: (22 cm - 12 cm) : 2 = 5 cm
   h² + 5² = 13²
   h² + 25 = 169   | - 25
   h²          = 144   | √
   h           =    12

3. Fläche des Trapez
   ATrapez = (22 cm + 12 cm) : 2 * 12 cn =
                =                17 cm          * 12 cm = 204 cm²

qa 1993 I 3b4, Fläche Kreisring-Viertel
   A = (Agr. Kreis  -  Akl. Kreis ) : 4
   A = (  9² * 3.14    -  5² * 3,14) : 4 =
       = (254,34 cm² - 78,5 cm²) : 4 =
       =          175,84 cm²              : 4 = 43,96 cm²

5. Frontplatte (Trapez) ohne Kreisring-Viertel
   204 cm² - 43,96 cm² = 160,04 cm²

qa 1993 I 3c6. Abfall in cm²
   299 cm² - 160,04 cm² = 138,96 cm²

7. Abfall in Prozent
   100 % = 299 cm²
       1 % = 2,99 cm²
   138,96 cm² : 2,99 cm² = 46,47 [%]

 

 

 

zurück QA 1992: Aufgabengruppe IV/4

Berechne die in der Skizze schraffierte Fläche (Maße in cm)!

qa 1992 IV 4

Hinweise:
- Die Figur ist achsensymmetrisch
- Rechne mit ¶ = 3,14!

Lösung

qa 1992 IV 4b1. Rechteck in der Mitte
   ARechteck = 6 cm * 8 cm = 48 cm²

   Zwei Halbkreise in der Mitte
   AHalbkreise = 2 * 3² * 3,14 / 2 = 28,26 cm²
  
   Trapez, Höhe (Pythagoras)

   Kurze Dreieckseite: (8 cm - 4,8 cm) = 1,6 cm
   1,6²  +  h²  = 6,5²
   2,56  + h² = 42,25    | - 2,56
                h²  = 39,69   |  √
                h    = 6,3
  
   Trapez, Fläche

   ATrapez = (8 + 4,8) : 2 * 6,3 =40,32 cm²

2. Gesamte weiße Fläche
   Agesamt = ARechteck + AHalbkreise + 2 + ATrapez
   Agesamt = 48 cm² + 28,26 cm² + 2 * 40,32 cm² =
                 =                    156,90 cm²

3. Rechteck, Länge
   6,3 cm + 6 cm + 6,3 cm = 18,6 cm
   Rechteck, Fläche
   ARechteck = 18,6 cm * 14 cm = 260,40 cm²

4. Schraffierter Rest
     260,40 cm² - 156,90 cm² = 103,50 cm²

zurück QA 1991: Aufgabengruppe V/3

qa-1991-V-3Das abgebildete Blechteil soll aus einer rechteckigen Tafel mit den Maßen 205 mm · 165 mm gestanzt werden.

  1. Berechne die Fläche des Blechteils in cm²!
  2.  Errechne den Abfall in Prozent!

Hinweis: Rechne mit ¶ = 3,14!

Lösung zu a

1. Fläche Halbkreis
   r = 80 mm
   AHalbkreis = 80² * 3,14 : 2 = 10 048 mm²

2. Fläche des Rechtecks
   a = 40 + 120 + 40 = 200 mm
   b = 40 + 40 = 80 mm
   ARechteck = 200 * 80 = 16 000 mm²

qa 1991 V 3a3. Beim Rechteck fehlende Dreieck
  ADreiecke = 3 * 40 * 40 : 2 = 2 400 mm²

3. Beim Rechteck fehlender Kreis
   AKreis = 14² * 3,14 = 615,44 mm²

4. Fläche des Blechteils
   ABlech = AHalbkreis  + ARechteck - ADreiecke - AKreis
    ABlech =10 048     +   16 000  -  2 400    -  615,44  =

                =                          23032,56 mm²      = 230,3256 cm²

Lösung  zu b

1. Fläche der ursprünglichen Tafel
   a = 205 mm        b = 165 mm
   ATafel = 205 * 165 = 33 825 mm² = 338,25 cm²
2. Abfall in cm²
 qa 1991 V 3b  338,5 cm² - 230,3256 cm² = 107,9244 cm²
3. Abfall in Prozent
   100 %: 338,25 cm²
       1 %: 3,3825 cm2
107,9244 cm² : 3,3825 cm² = 31,906.. ≈ 39,9 %

 

 

 

 

 

zurück QA 1991: Aufgabengruppe III/4

Um einen kreisförmigen Brunnen mit einem Außendurchmesser von 1,60 m wird eine Einfassung in der Form eines regelmäßigen Sechsecks gelegt.
Alle Ecken des Sechsecks haben vom Brunnenrand einen Abstand von 1,80 m.

  1. Fertige eine Skizze und trage die Maße ein.
  2. Berechne die Fläche der sechseckigen Einfassung!  Runde die Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma!
  3. Die Einfassung wird aus geschliffenen Granitplatten gefertigt. Ein Quadratmeter verlegter Granitplatten kostet 515 DM. Berechne die Kosten der Einfassung!

Hinweis: Rechne mit  = 3,14!

Lösung

a) Skizze


qa 1991 III 4

qa 1991 III 4 Loesb) Fläche der Graniteinfassung
    Die Einfassung besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken
    Grundlinie: 0,80 m + 1,80 m = 2,40 m
    Höhe (Pythaogoras)
    2,6²         = h² + 1,3²
    6,76      = h² + 1,69           | - 1,44
    5,07         = h²                       | √
    2,25         = h
    ADreieck    = 2,6 * 2,25 : 2 = 2,925 ≈ 2,925 m²
    ASechseck = 6 * 2,925 m² = 17,55 m²
    ABrunnen   = 0,8² * 3,14 = 2,0096 ≈ 2,01 m²
    AGranit      = ASechseck - ABrunnen
    AGranit      = 17,55 - 2,01 = 15,54 m²

c) Kosten der Einfassung
        1      m²:    515 DM
    15,54 m² :    515 DM * 12,99 = 8 003,1 DM

zurück QA 1991: Aufgabengruppe I/4

Ein Heimwerker will eine Überdachung im Selbstbau erstellen, die folgende Maße haben soll:

qa-1991-I-4

  1. Er deckt das Dach mit einer doppelten Lage Dachpappe. Wie viele Quadratmeter benötigt er, wenn für Überlappung und Verschnitt 7 % hinzuzurechnen sind?
  2. In einem Baumarkt wird Dachpappe nur in ganzen Rollen mit je 10 Quadratmetern angeboten. Berechne die Kosten, wenn für eine Rolle 23,50 DM zu zahlen sind!

Hinweis: Runde sinnvoll!

Lösung

qa 1991 I 4aLinke Dachfläche
Alinks  1,00 m * 5,00 m = 5 m²

Breite des Giebels links (Pythagoras)
100²     =  30² + b1²
10 000 = 900 +b1²
 9 100 =            b1²
  95,4  =            b1 

Breite des Giebels rechts
300 - 95,4 = 204,6 cm
Länge der rechten Dachneigung (Pythagoras)

qa 1991 I 4bb2² =  30² + 204,6²
b2² = 900 + 41861,16
b2² =  42761,16
b = 206,8 cm ≈ 2,07 m

Rechte Dachfläche
Arechts = 5,00 * 2,07 = 10,35 m²

Fläche insgesamt
5 m² + 10,35 m² = 15,35 m²

Dachpappe bei doppelter Lage + 7 % Verschnitt
2 * 15,3 m² : 100 * 107 = 32,742 m² ≈ 32,7 m²

Er braucht dafür 4 Rollen mit je 10 m².
Kosten: 4 * 23,50 DM = 94 DM

 

 

zurück QA 1990: Aufgabengruppe V/4

In einem Garten wird ein zylinderförmiges Schwimmbecken angelegt. Die Grundfläche hat einen Umfang von 37,69 m. Um das Becken führt ein 90 cm breiter Weg.

  1. Fertige eine Skizze und trage die gegebenen Maße ein.
  2. Berechne die Grundfläche des Beckens.
  3. Berechne die Fläche des Weges!
  4. Berechne den Umfang des äußeren Wegrandes.
  5. Der Gärtner möchte am äußeren Wegrand Ziersträucher in (QS = 9) einem Abstand von 1,2 m setzen. Wie viele Sträucher benötigt er? Runde!

Lösung

qa 1990 v 4

Durchmesser des Beckens
U        = d * 3,14
37,69 = d * 3,14        | : 3,14
12,00 = d
Radius: 12,00 m : 2 = 6,00 m
Fläche des Beckens
ABecken = 6² * 3,14 = 113,04 m²

Fläche des Weges
AWeg = Agr. Kreis - ABecken
rgr.Kreis = 6,00 m + 0,90 m = 6,90 m
AWeg = 6,90² * 3,14 -113,04 m²
          = 149,4954    - 113,04 m² = 36,4554 m² ≈ 36,5 m²

Äußerer Umfang des Weges
d = 2 * 6,9 = 13,8 m
U = 13,8 m * 3,14 = 43,332 m ≈ 43,3 m
Anzahl der Sträucher
43,3 : 1,2 = 36,083.. ≈ 36 Sträucher

zurück QA 1989: Aufgabengruppe III/3

Bei einer Auseinandersetzung zwischen den Geschwistern Hans und Rudi geht der Kristallspiegel zu Bruch (siehe Skizze; Maße in cm).

qa-1989-III-3

Der Glaser rechnet den Quadratmeter Kristallglas (Verschnitt wird nicht berechnet) zu 298 DM und seine Arbeit mit 3 ½ Stunden zu je 42 DM. Seit neun Jahren zahlt der Vater jährlich für eine Hausratversicherung über 50 000 DM eine Prämie von 1,8 Promille.
a) Wie teuer kommt der neue Spiegel, wenn noch 14 % Mehrwertsteuer berücksichtigt werden müssen?
b) Vergleiche die einbezahlten Versicherungsprämien mit der Schadenssumme. Berechne den Unterschied.

Lösung

a) Kosten für den neuen Spiegel

Fläche des Rechtecks
ARechteck = 180 * 90 = 16 200 cm² = 1,62 m²

Fläche eines Trapezes
Höhe: (240 - 180) : 2 = 30 cm = 0,3 m
ATrapez = (0,9 + 0,5) : 2 * 0,3 = 0,21 m²

Fläche des Spiegels
ASpiegel = ARechteck + 2 * ATrapez
ASpiegel =1,62 m² + 2 * 0,21 m² = 2,04 m²

Material
      1 m²:   298 DM
2,04 m²:  298 DM * 2,04 = 607,92 DM

Arbeitszeit
   1 h:   42 DM
3,5 h:   42 DM * 3,5 = 147 DM

Gesamtkosten einschl. MWSt
(607,92 DM + 147 DM) : 100 * 114 = 860,6088 DM ≈ 860,69 DM

b) Unterschied zwischen Schaden und Versicherungssumme

50 000 DM : 100 * 1,8 * 9 = 810 DM
Der Schaden übersteigt die Verischerungssumme um 50,69 DM.

zurück QA 1988: Aufgabengruppe V/4

Berechne die Fläche des dargestellten unregelmäßigen Fünfecks.

qa-1988-IV-4AE = 6 cm

BC = 6 cm

CD = 8 cm

h = 12 cm

 

 

 

 

 

 

qa 1988 IV 4aLösung

Länge von BD (Pythagoras)
6 * 6 + 8 * 8 = BD²
   36  +  64   = BD²
        100       = BD²
          10        = BD

Fläche des Trapezes
ATrapez = ( 6 cm + 10 cm) : 2 * 12 = 96 cm²

Fläche des Dreiecks
ADreieck = 6 cm * 8 cm : 2 = 24 cm²

Gesamtfläche
Agesamt = ATrapez + ADreieck
80 cm² + 24 cm² = 120 cm²

zurück qa-1988-III-2QA 1988: Aufgabengruppe III/2

a) Zeichne diese Figur in dreifacher Größe
b) Berechne nun Flächeninhalt und Umfang der vergrößerten schraffierten Fläche.
Hinweis: Rechne mit p = 3,14!

 

Lösung

qa 1988 iii 2

Schraffierte Fläche
ASchraffur = AQuadrat - A4 Viertelkreise
ASchraffur =     6 * 6   - 3 * 3 * 3,14 =
                =        36   -     28,26       = 7,74 cm²

Umfang der schraffierten Fläche (= Umfang ganzer Kreis)
U = 6 * 3,14 = 18,84 cn

zurück QA 1986: Aufgabengruppe II/3

Ein Landwirt kauft eine Wiese (siehe Skizze). Er bezahlt bei einem Kaufpreis von 3,50 DM pro Quadratmeter insgesamt 23 940 DM.
qa-1986-II-3

a) Wie groß ist die Fläche der Wiese?
b) Für das Einzäunen der Wiese benötigt der Landwirt 352 m Weidedraht. Berechne die Längen der Seiten s1 und s2!

Lösung

Fläche der Wiese
1 m²:  3,50 DM
23 940 DM : 3,50 DM = 6840 [m²]

Länge der Seite s1 (= Höhe des Trapezes)
ATrapez   = ( g1  + g2 ) : 2 * s1
   6 840  = (122 + 68) : 2 * s1
    6 840 =         95            * s1    | :95
          72 =                            s1

Länge der Seite s2
U     = 72 + 122 + s2 + 68 m
352 =    262       + s2
90   =                    s2

Die Seite s1 ist 72 m und s2 ist 90 m lang.

 

zurück QA 1986: Aufgabengruppe I/2

Ein Kreisausschnitt hat einen Mittelpunktswinkel a = 60° und einen Kreisbogen mit einer Länge von 56,52 cm.
a) Wie groß ist der Umfang des Kreises?
b) Berechne die Fläche des Kreises.
c) Der Kreis ist flächeninhaltsgleich mit einem Dreieck, dessen Grundlinie g 457,812 cm beträgt. Wie groß ist die Höhe des Dreiecks?
Hinweis: Rechne mit ¶ = 3,14!

qa 1986 i 2 LoesLösung

Umfang des Kreises
56,52 cm : 60 * 360 = 339,12 cm

Durchmesser
U = d * 3,14
339,12 cm = d * 3,14               | 3,14
   108 cm   = d

Radius: 108 cm : 2 = 54 cm

Fläche
A = r² * 3,14
A = 54² * 3,14 = 9 156,24 cm²

Höhe des flächengleichen Dreiecks
ADreieck   = g * h : 2
9156,24   = 457,812 * h : 2      | * 2
18312,48 = 457,812 * h           |  : 457,812
         40     =                   h

Das Dreieck ist 40 cm hoch.

zurück QA 1985: Aufgabengruppe II/3

qa 1985 II 3In einem Park befindet sich eine kreisförmige Anlage mit dem Durchmesser d = 12 m (siehe Skizze). Das quadratische Beet in der Mitte soll mit Rosen bepflanzt werden, die Restfläche wird als Rasen angelegt.
Wie viele Kilogramm Grassamen benötigt man, wenn pro Quadratmeter 50 g gesät werden? Hinweis: Rechne mit ¶ = 3,14 m!

Lösung

1. Fläche des Kreises
   Radius:  25m : 2 = 12,5 m
   AKreis = 12,5² * 3,14 = 490,625 m²

2. Fläche des Beetes
   Das Beet besteht aus zwei gleich großen Dreieckn
   g = 25 m - 2 m - 2 m = 21 m
   h = 21 m : 2 = 10,5 m
   ABeet = 2 * 21 m * 10,5 m : 2 = 220,50 m²

 

 

3. Grasflächeqa 1985 II 3 Loesgif
   AGras = AKreis -  ABeet
   AGras = 490,625 m² - 220,50 m² = 270,125 m²

4. Benötigter Grassamen
        1 m²:            50 g
   270,125 m²: 50 g * 270,125 = 13 506,25 g ≈ 13,5 kg




 

zurück QA 1984 V/3

Zwei Kinderspielplätze erhalten je einen kreisförmigen Sandkasten. Um jeden soll ein 1,4 m breiter Weg angelegt werden. Als Belag wird Holzpflaster gewählt.
Der eine Sandkasten hat einen Durchmesser von 5,8 m, der andere einen Radius 4,5 m. (Rechne mit ¶ = 3,14)

  1. Fertige eine Skizze von beiden Sankästen mit den Wegen und trage die Maße ein!
  2. Berechne die Gesamtfläche der beiden Wege in m²!
  3. Wie viele Holzpflasterstücke werden benötigt, wenn mit einem Pflasterstück eine Fläche von 1 dm² belegt werden kann?

(Runde alle Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, immer auf 2 Kommastellen!)

Lösung a

QA 1984 V 3a

Lösung b

Weg um den kleinen Sandkasten
Radius Sandkasten: 5,8 m : 2 = 2,9 m
Radius großer Kreis: 2,9 m + 1,4 m = 4,3 m
AWeg 1 =A gr. Kreis - ASandkasten
AWeg 1 = 4,3 * 4,3 * 3,14 - 2,9 * 2,9 * 3,14 =
             =       58,06           -    26,40              = 31,66 m²

Weg um den großen Sandkasten
Radius Sandkasten: 4,5 m
Radius großer Kreis: 4,5 m + 1,4 m = 5,9 m
AWeg 2 =A gr. Kreis - ASandkasten
AWeg 2 = 5,9 * 5,9 * 3,14 - 4,5 * 4,5 * 3,14 =
             =       109,30        -    63,59              = 45,71 m²

Beide Wege
31,66 m² + 45,71 m² = 77,37 m² = 7 737 dm²

Holzpflasterstücke: 7 737 Stück

qazurück QA 1984 I/3

Von einem rechteckigen Grundstück mit 54 m Länge und 42 m Breite wird durch Straßenbau ein dreieckiges Stück abgetrennt, das 1/6 der Grundstücksfläche ausmacht. Von den Seiten des abgetrennten Dreiecks, die einen rechten Winkel bilden, ist die eine 31,5 m lang!

  1. Fertige eine Skizze und trage die Maße ein!
  2. Berechne die Länge der anderen Seite.
  3. Der Grundstückseigentümer wird mit 18 900 DM entschädigt. Wie viel DM werden demnach für 1 m² bezahlt?

Lösung a

qa 1984 I 3

Lösung b

Grundstücksfläche
A = 54 * 42 = 2 268 m²
Abgetretenes Dreieck
2268 m² : 6 = 378 m²
Zweite Dreiecksseite
ADreieck = g * h : 2
378 = 31,5 * h : 2    | * 2
756 = 31,5 * h         | : 31.5
   24 =            h

Lösung c

378 m²: 18 900 DM
     1 m²: 18 900 DM : 378 = 50 DM

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