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Mathe-Quali 2016 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

 

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. I/1

  1.  Löse die folgende Gleichung:
       3 • (1,5x - 2,5) - (3x - 5) + (3,5x + 7) : 0,2 = 12,5 x

Lösung

       3 • (1,5x - 2,5) - (3x - 5) + (3,5x + 7) : 0,2 = 12,5 x    | Klammern auflösen
        4,5x - 7,5      -   3x + 5    +    17,5x  + 35       = 12,5 x    | Zusammenfassen
  19x + 32,5 = 12,5 x    | - 12,5x
  6,5x + 32,5 =    0    | - 32,5
  6,5x = - 32,5    | : 6,5
  x =  -5  

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. I/2

  1. Raphael möchte am Ende seiner Lehrzeit nach Südamerika reisen.
    1. B I2Neun Monate lang spart er für diese Reise. Monatlich spart er 120 €.
      Seine Oma schenkt ihm zusätzlich noch ein Drittel des von ihm gesparten Gesamtbetrages.
      Berechne, welchen Betrag er insgesamt zur Verfügung hat.
    2. Seine Eltern legen für ihn einmalig neun Monate lang einen Betrag von 1500 € zum Zinssatz von 1,2 % bei der Bank an.
      Ermittle rechnerisch, wie viel Geld er einschließlich der Zinsen nach dieser Zeit von seinen Eltern erhält.
    3. Raphael nimmt an, dass die Reise insgesamt 3500 € kostet. Darin ist ein Betrag von 500 € als Taschengeld eingeplant.
      Berechne den Prozentsatz des Taschengeldes an den gesamten Reisekosten.

Lösung

  1. B I2 Loes1Erspartes + "Zuschuss" von Oma
    Erspartes:            120 € • 9 = 1 080 €
    Omas Zuschuss: 1080 € : 3 = 360 €
    An Erspartem und "Oma-Zuschuss" stehen zur Verfügung:
    1 080 € + 360 € = 1 440 €.
  2. 1 500 € +1,2 % Zinsen dafür in 9 Monate von seinen Eltern B I2 Loes2Jahreszins
    100 % = 1 500 €
        1 % = 1 500 € : 100 = 15 €
     1,2 % = 15 € * 1,2 = 18 €

    Zins für 9 Monate
    12 Monate = 18 €
     9 Monate = 18 € : 12 * 9 = 13,50 €
    Er erhält von seinen Eltern: 1 500 € + 13,50 € = 1 513,50 €
  3. Prozentsatz des Taschengeldes an den geschätzten Reisekosten von 3 500 €
    100 % = 3 500 €
    QA 2016 B I2 Loes3    1 % = 3 500 € : 100 = 35 €
    500 € : 35 € = 14,28 % ≈ 14,3 %
    14,3 % der Gesamtkosten entfallen auf das Taschengeld.

Angaben ohne Gewähr

 

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. I/3

  1. Herr Huber macht mit seiner kleinen Tochter Sofia eine Radtour.
    Mit seinem Fahrrad legt er pro Pedalumdrehung (siehe Skizze) 4,50 m zurück.
    Sofia schafft mit ihrem Kinderrad nur 2,50 m pro Pedalumdrehung.
    1. Bestimme die folgenden Werte.

      B I3

      Herr Huber:
      Pedalumdrehungen  80   150 
      Zurückgelegte Strecke  360    675   900 
      Sofia:
      Pedalumdrehungen    40    150   350 
      Zurückgelegte Strecke  375  875
    2. Stelle jeweils den Graphen für Sofia und ihren Vater in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.
      Rechtswertachse: 50 Pedalumdrehungen = 1 cm
      Hochwertachse:   100 Meter = 1 cm
    3. Die Radtour endet nach 3,6 km. Berechne, wie viele Pedalumdrehungen Sofia mehr machen musste als ihr Vater.

Lösung a)

Herr Huber:
4,50 m:                              1 Umdrehung
900   m:      900 : 4,50 = 200 Umdrehungen

Sofia:
  1 Umdrehung:       2,50 m
40 Umdrehungen:  2,50 m * 40 = 100 m

Lösung b)

B I3b Loes

Lösung c)

Pedalumdrehungen des Vaters:
3,6 km = 3 600 m
  4,50 m:      1 Umdrehung
3 600 m:     3 600 : 4,50 = 800 Umdrehungen

Pedalumdrehungen von Sofia:
2,50 m:        1 Umdrehung
3 600 m:      3 600 : 2,50 = 1 440 Umdrehungen

So viel muss Sofia mehr Peadalumdrehungen machen: 1 440 - 800 = 640 Umdrehungen.

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. I/4

  1. QA 2016 B I4Ein Werkstück besteht aus einem Halbzylinder und einer quadratischen Pyramide (hP = 16 cm; hS = 20 cm). Berechne das Volumen des Werkstücks.


    Hinweis:
    Sizze nicht maßstabsgetreu

Lösung

Gesamtvolumen

VGesamt = VPyramide + VHalbzylinder

Volumen der quadratischen Pyramide

QA 2016 B I4 Loes1Die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche.
Deren Seite a ist doppelt so lang wie die Grundlinie g des rechtwinkligen Dreiecks.
Diese Seite g lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ermitteln.

g² +  hP² = hS²
g² +  16² = 20²
g² + 256 = 400   | - 256
g²           = 144   | √
  g            = 12   

a  = 2 * 12   = 24

VPyramide = 1/3 *  a  *  a  * hP
VPyramide = 1/3 *24 * 24 * 16 = 3 072 cm
³

QA 2016 B I4 Loes2Volumen Halbzylinder

Der Radius der Grundfläche des Halbzylinders beträgt 12 cm, die Höhe 24 cm.

VHalbzylinder = ½ *   r   *   r   * 3,14 *hZylinder
VHalbzylinder = ½ * 12 * 12 * 3,14 *    24    = 5425,92 cm³

Gesamtvolumen

VGesamt = 3 072 cm³ + 5425,92 cm³ = 8 497,92 cm³

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. II/1

  1. Die Eisdiele Abruzzo verkaufte an einem Samstag insgesamt 540 Kugeln Eis.
    QA 2016 B II1Sie bietet die Sorten Schokolade, Vanille, Zitrone und Erdbeere an.
    Vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis.
    Von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viel Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille.
    Vom Schokoladeneis wurden 80 Kugeln verkauft.

Wie viele Kugeln Eis wurden von jeder Sorte verkauft? Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

Kugeln
Zitrone
Kugeln
Vanille
Kugeln
Erdbeere
Kugeln
Schokolade
Kugeln
Insgesamt
 QA 2016 B II1 zitrone QA 2016 B II1 vanille QA 2016 B II1 erdbeere  QA 2016 B II1 schoko    
Zitrone
(= z)
40 weniger
als Zitrone
4x so viel
wie Vanille
80 540  

GLEICHUNG mit z als Platzhalter
:
z + z - 40 + 4 • (z - 40) + 80 = 540 | Klammern weg
z + z - 40 + 4z - 160 + 80
= 540 | vereinfacht
6z - 120 = 540 | + 120
6z = 660 | : 6
z = 110

Antwort:

Kugeln Zitrone:      110
Kugeln Vanille:       110 - 40 = 70
Kugeln Erdbeere:     4 • 70 = 280
Kugeln Schokolade: 80

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. II/2

 

  1. Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm

   Berechne den Flächeninhalt des Sechsecks.

Lösung: Zeichnung

Die Ecken des regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Kreis mit r = 5 cm und haben einen Abstand zueinander von 5 cm.

B II2 Loes1
  • Mit dem Zirkel einen Kreis
    mit dem Radius von 5 cm zeichnen
B II2 Loes2
  • Den Durchmesser d in den Kreis einzeichnen.
    Dessen Endpunkte sind zwei der 6 Ecken.
B II2 Loes3
  • Um die beiden Endpunkte des Durchmessers
    vier Teilkreise mit r = 5 cm zeichnen
  B II2 Loes4
  • Die Endpunkte des Durchmessers und Schnittpunkte
    der Teilkreise mit dem Kreis miteinander verbinden

Lösung: Fläche des Sechsecks

Die Fläche des Sechsecks besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken.
Die Grundlinie eines Dreiecks ist 5 cm. Die Höhe kann man mit dem Pythagoras berechnen.

B II2 Loes5

2, 5² + h²  = 5²
6, 25 + h² = 25            | - 6,25
             h² =18,75        | √
               h  = 4,33

ASechseck = 6 *    ADreieck
ASechseck = 6 * ½ * 5 * 4,33
ASechseck = 6 *    10,825
ASechseck =      64,95 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. II/3

3. Charlotte interessiert sich für ein Mountainbike, einen Helm und ein Paar Knieschoner.

  1. B II3Das Mountainbike kostet 550 €. Da es sich um ein Auslaufmodell handelt, erhält sie
    auf diesen Preis 12 % Rabatt. Berechne den neuen Fahrradpreis.
  2. Der Helm ist um 20 % reduziert und kostet jetzt noch 79 €. Ermittle rechnerisch,
    wie viele Euro sie beim Kauf des Helmes spart.
  3. Der Preis der Knieschoner beträgt einschließlich Mehrwertsteuer 49,98 €. Hier bekommt sie die
    Mehrwertsteuer von 19 % „geschenkt“. Gib den Aktionspreis für die Knieschoner an.
  4. Charlotte kauft nur den Helm. Bei Barzahlung erhält sie auf ihren Einkauf nochmals 2 % Skonto.
    Berechne, wie viel sie dann bar bezahlen muss.

Lösung

a) Neuer Fahrradpreis

100 % = 550 €
  12 % = 550 € : 100 * 12 = 66 € Rabatt
Neuer Preis: 550 € - 66 € = 484 €

b) B II3 LoesErsparnis beim Helm

20 % reduziert:  80 % = 79 €
Alter Preis:      100 % = 79 € : 80 * 100 = 98,75 €
Ersparnis:     98,75 € - 79 € = 19,75 €

c) Aktionspreis für die Knieschoner

Mit MWSt.:     119 % = 49,98 €
                            1 % = 49,98 € : 119
Ohne MWSt.: 100 % = 49,98 € : 119 * 100 = 42 €
Der Aktionspreis für die Knieschoner  beträgt 42 €.

d) Bezahlter Preis für den Helm

Rechnungsbetrag: 100 % = 79 €
Skonto:                       2 % = 79 € : 100 * 2 = 1,58 €
Sie bezahlt für den Helm 79 € - 1,58 € = 77,42 €

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. II/4

  1. QA 2016 B II4Aus einem Zylinder mit dem Radius r = 5 dm und der Körperhöhe hK = 12 dm wird ein Viertel herausgeschnitten.

Berechne die gesamte Oberfläche des entstandenen Körpers.


Hinweis:
Skizze nicht maßstabsgetreu

 

 Lösung

Das Werkstück ist eine umgekippte gerade Säule. Grund- und Deckfläche befinden sich jetzt vorne und hinten. Die Oberfläche wird so berechnet:
QA 2016 B II4 Loes

Grundfläche (roter Dreiviertel-Kreis)
AGrundfläche = ¾ •       r²  • 3,14
AGrundfläche
= ¾ • 5 • 5 • 3,14 = 58,875 dm²


Mantel (oranges + 2 graue Rechtecke)
Mantellänge a =  ¾ • UKreis      + 5 dm + 5 dm
Mantellänge a =  ¾ • 10 * 3,14 + 5 dm + 5 dm = 33,55 dm

Mantelbreite b = 12 dm
AMantel  =     a    •  b

AMantel = 33,55 • 12 = 402,6 dm²

Gesamte Oberfläche
AGesant = 2 * AGrundfläche    +    AMantel
AGesant = 2 * 58,875 dm² + 402,6 dm² = 520, 35 dm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. III/1

  1. Löse folgende Gleichung:
    B III1

    Lösung

    B III1 Loes

     Lösungsalternative

    B III1 Loes2

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. III/2

Lösung

  1. Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A(7|5) und C(5|7) ein und verbinde sie zur Strecke [AC].
  1. Zeichne die Senkrechte zur Strecke [AC] durch den Punkt A.
QA 2016 B III2 Loes1
  • Punkte A(7|5) und C(5|7) verbinden zur Strecke [AC]
QA 2016 B III2 Loes2
  • Senkrechte zur Strecke [AC]durch den Punkt A zeichnen
  1. Zeichne den Punkt D(5|3) ein. Wähle den Punkt B so, dass das Parallelogramm ABCD entsteht und zeichne es.
  1. Der Punkt D soll die Strecke [AH] halbieren. Zeichne den Punkt H entsprechend ein und gibseine Koordinaten an.
QA 2016 B III2 Loes3
  • Punkt D(5|3) durch Punkt B ergänzen, so dass das Parallelogramm ABCD entsteht
QA 2016 B III2 Loes4
  • Punkt H(3|1) ergänzen, so dass Punkt D die Strecke [AH] halbiert

Der Punkt H hat die Koordinaten H(3|1).

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil  B - Lösungen: Nr. III/3

 

  1. QA 2016 B III4In einer Fensterscheibe sind vier gleiche, farbige Glasscheiben eingesetzt.
    Die haben jeweils die Form einer Raute (siehe Abbildung).

    Berechne die Gesamtfläche des farbigen Glases.

    Maße in cm

    Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Lösung 

Eine Raute besteht aus 4 rechtwinkligen Dreiecken.
Die Grundlinie eines solchen rechtwinkligen Dreiecks ist 20 cm lang. 

Die Höhe des Dreiecks lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

h² +  20² = 25²
QA 2016 B III4 Loesh² + 400 = 625   | - 400
h²          = 225   | √
h            = 15

ADreieck = ½ *   g  *  h
ADreieck
= ½ * 15 * 20

ADreieck  = 150 cm²

ARaute = 150 cm² * 4 = 600 cm²

Gesamtfläche der 4 farbigen Rauten
600 cm² * 4 = 2 400 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2016, Teil B - Lösungen: Nr. III/4

 

  1. In den Jahren 2012 bis 2014 wurden in jeder Altersgruppe jeweils 1 200 Jugendliche befragt,
    ob sie ein Smartphone besitzen
    B III4 Loes

a) Berechne den prozentualen Anstieg der Smartphone-Besitzer von 2012 bis 2014 in der
    Altersgruppe der 14- bis 15-Jährigen.

b) In der Altersgruppe der 18- bis 19-Jährigen stieg die Anzahl der Smartphone-Besitzer von 2013
    auf 2014 um 11,25 %. Ermittle rechnerisch, wie viele Jugendliche dieser Altersgruppe
    demnach 2014 ein Smartphone besaßen.

c) Im Jahr 2014 wurden zusätzlich 1200 Jugendliche im Alter zwischen 12 und 13 Jahren befragt.
    80 % besaßen ein Smartphone, 15 % besaßen keines, der Rest machte keine Angaben. Stelle
    das Ergebnis der Umfrage in einem Kreisdiagramm mit Radius 4 cm dar.

Lösung QA 2016 B III1 Loes a

a) Anstieg der Smartphones bei 14 bis 15-Jährigen
    2014:  1 080 Smartphones
    2012:      564 Smartphones
    Anstieg: 1 080 - 564 = 516 Smartphones
    100 %: 564 Smartphones
         1 %: 5,64 Smartphones
    516 : 5,64 = 91,48 % ≈ 91,5 %

Die Zahl der Smartphonebesitzer stieg bei den 14 bis 15-Jährigen von 2012 bis 2014 um 91,5 %.

QA 2016 B III1 Loes bb) Zahl der Jugendlichen von 18 - 19 Jahren mit Smartphone 2014
    2013:      100 % =  960
                         1 % = 960 : 100 =  9,6
                   11,25 % = 9,6 * 11,25 = 108

    2014:   111,25 % =  960 + 108 =  1 068

2014 besaßen 1 068 der 1 200 befragten Jugendlichen zwischen 18 und 19 Jahren ein Smartphone.

 

c) Diagramm
B III4 Loes c   
100 % = 360°
       80 % = 360′ : 100 * 80 = 288°
       15 % = 360° : 100 * 15 =  54°
         5 % = 360° : 100 * 5 =    18°

 

 

Angaben ohne Gewähr

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