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Mathe-Quali 2006: Aufgaben mit Lösungen

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zurück 2006: Aufgabengruppe I - Aufgabe 1

Der Fanclub Blau-Weiß will mit seinen Mitgliedern zu einem Fußball-Länderspiel fahren. Der Vorstand reserviert:

    • qa-2006-I-1b50 Karten der Preisklasse A
    • 80 Karten der Preisklasse B
    • 100 Karten der Preisklasse C
    • 75 Karten der Preisklasse D

Ein Platz kostet in der Preisklasse A doppelt so viel wie in der Preisklasse B. In der Preisklasse C ist ein Platz um 5 € billiger als in der Preisklasse B. In der Preisklasse D ist ein Platz um 10 € billiger als in der Preisklasse C. Für die reservierten Karten werden insgesamt 16 125 € bezahlt.

Wie teuer ist jeweils ein Platz in den verschiedenen Preisklassen? Löse die Aufgabe mithilfe einer Gleichung.

Lösung

qa-2006-I-1c

50 * A     + 80 * B     + 100 * C         + 75 * D        = 16 125
50 * B *2  + 80 * B    + 100 * (B - 5)   + 75 * (B -15) = 16 125
   100 B    +  80 B     + 100 B - 500   + 75 B - 1125  = 16 125
                  355 B     - 1 625                                  = 16 125   | + 1625
                  355 B                                                 = 17 750   | : 355
                        B                                                 =   50

Preisklasse B: 50 €
Preisklasse A: 50 € * 2     = 100 €
Preisklasse C: 50 € -  5 €  =  45 €
Preisklasse D: 45 € - 10 € =  35 €

Statt der Variablen B für die Karte der Kategorie B kann man auch die Variable x verwenden.

zurück QA 2006: Aufgabengruppe I, Nr. 2

Familie Sommer bekommt ein Partyzelt, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Achteck mit einem Umfang von 24 m ist.

  1. Zeichne die Grundfläche in geeignetem Maßstab.
  2. Das Partyzelt soll einen Holzboden bekommen. Berechne seinen Flächeninhalt und rechne 20 % Verschnitt dazu.

Entnimm die zur Berechnung notwendigen Maße deiner Zeichnung.

Lösung

Zeichnung im Maßstab 1 : 100qa-2006-I-2b
Grundlinie eines Dreiecks
24 : 8 = 3 m

Fläche des regelmäßigen Achtecks
AAchteck = 8 * ADreieck

hDreieck  = 3,6 m (Maß der Zeichnung entnommen)
AAchteck = 8 * 3 * 3,5 / 2 = 43,2 m²

Verschnitt
100 % = 43,2 m²
    1 % = 0,432 m²
120 % = 0,432 * 120 = 51,84 m²

zurück 2006: Aufgabengruppe I, Nr. 3

qa-2006-I-3Die beiden neunten Klassen einer Hauptschule planen ihre Abschlussfeier. Sie rechnen mit Gesamtkosten in Höhe von 525 €. Davon entfallen 100 € auf die Saalmiete. Für Speisen und Getränke werden 70 % der Gesamtsumme benötigt. Der Restbetrag wird für Dekoration ausgegeben.

  1. Was kosten die Speisen und Getränke? Was kostet die Dekoration?
  2. Ein Fünftel der Gesamtkosten übernimmt der Elternbeirat. Wie hoch ist dieser Betrag in Euro?
  3. In den zwei Klassenkassen befinden sich zusammen 144,90 Euro. Wie viel Prozent der Gesamtkosten können damit abgedeckt werden?
  4. In der Klasse 9 a sind 20 Schüler, in der 9 b sind 10 % mehr. Welchen Betrag muss jeder Schüler beisteuern, damit alle Kosten gedeckt werden können?

Lösung

a) 70 % für Speisen und Getränke
    100 % = 525 €
      1 % = 5,25 €
     70 % = ,525 € * 70 = 367,50 €

    Dekoration = 525 € - Saalmiete - Speisen/Getränke
                 525 € -    100 €  -   367,50 €       = 57,50 €

   Für Speisen und Getränke fallen 367,50 E und für die Dekoration 57,50 € an Kosten an.

b) Ein Fünftel zahl der Elternbeirat
    525 € : 5 = 105 €

c) Wie viel Prozent der 525 € decken die 144,90 € der Klassenkasse?
   100 % = 525 €
     1 % = 5,25 €
   144,90 : 5,25 = 27,6 %

d) Schüler in 9b
  9a: 100 % = 20 Schüler
  9b: 110 % = 20 : 100 * 110 = 22 Schüler
   9 a + 9 b = 42 Schüler
   Es fehlen noch: 525 € - Elternbeirat - Klassenkasse
   525 - 105 - 144,90 = 275,10 €
   Anteil pro Schüler
  275,10 € : 42 = 6,55 €

zurück QA-2006: Aufgabengruppe  I, Nr. 4

Lösung

  1. Gegeben sind die Punkte A (2 | 4), B (6 | 2) und C (5,5 | 5).
  1. Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm ein.
  1. Zeichne die Senkrechte zur Strecke [AB] durch den Punkt C.
    Die Senkrechte schneidet die Strecke [AB] im Punkt E.

2006 BI 4 Loes1Koordinatensystem mit dem Dreieck ABC

2006 BI 4 Loes2Senkrechte von C zur Strecke [AB]
  1. Zeichne den Punkt D so, dass das Parallelogramm ABCD entsteht. Gib die Koordinaten von D an.
2006 BI 4 Loes3
Die Ecke D des Parallelogramms ist der Schnittpunkt der Parallelen zu [CB] durch den Punkt A ...
2006 BI 4 Loes4... mit der Parallelen zu [AB] durch den Punkt C
  1. Ergänze das Dreieck CEB zum Drachenviereck CEBF.
2006 BI 4 Loes5Der Punkt F des Drachenvierecks liegt auf dem
Teilkreis um C mit dem Radius r = [EC]
...
2006 BI 4 Loes6... und der Senkrechten von E auf der Strecke [CB]

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2006: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Löse die Gleichung:
qa-2006-II

Lösung

Mit Hauptnenner 5 multiplizieren

5 x + 0,25 - 105 x - 16,5 = 13,75 - 30 * (4x - 1/3)
     - 100x - 16,25           =  13,75 - 120 x + 10        | + 120 x
         20x - 16,25           =  23,75                           | + 16,25
         20 x                     = 40                                 | : 20
             x                     =   2

zurück QA 2006: Aufgabengruppe II, Nr. 2

 

  1. Die folgende Grafik zeigt, wie viele Menschen sich im Jahr 2005 mit dem HI-Virus schätzungsweise angesteckt haben:

    qa-2006-II-2b

    1. Wie viele Menschen haben sich 2005 weltweit durchschnittlich pro Tag mit dem HI-Virus angesteckt? Runde das Endergebnis auf Tausender.
    2. Stelle die prozentualen Anteile der Neuinfektionen in folgenden Gebieten in einem Säulendiagramm dar (1 % => 1 cm):
      * Lateinamerika
      * Osteuropa, Zentralasien
      * Westeuropa
    3. In Deutschland stiegen die Neuinfektionen von 2004 auf 2005 um 30 % auf 2 060 Personen an. Wie viele Neuinfektionen gab es 2004?

Lösung

    1. Nordamerika        43 000
      Karibik 30 000
      Lateinamerika 200 000
      Westeuropa 22 000
      Osteuropa, Zentralasien 270 000
      Nordafrika u. Naher Osten 67 000
      Afrika südl. der Sahara 3 200 000
      Ostasien 140 000
      Süd- und Südostasien 990 000
      Ozeanien, Australien, Neuseeland 8 200
      Summe der Ansteckung 2005 4 962 000
      Es waren pro Tag etwa 4 920 000 : 365 ≈ 14 000 Ansteckungen.
    2. Säulendiagramm
       qa-2006-II-2-diagramm
    3. In Deutschland 2005 ein Anstieg  um 30 % auf 2 060 Personen
      2005:  130 % = 2 060 Personen
                    1 % = 2 060 Personen : 130 = 15,85 Personen
      2004:  100 % = 15,85 Personen * 100 = 1 585 Personen
      2004 gab es in Deutschland 1585 Neuinfektionen.

zurück QA 2006: Aufgabengruppe II, Nr. 3

qa-2006 IIbDie neunten Klassen stellen im Rahmen der Projekttage 65 gleiche zylinderförmige Windlichter aus dünnem Blech her, die oben offen sind. Die Mantelfläche jedes Zylinders beträgt 471 cm2. Die Körperhöhe soll 15 cm sein. Aus der Mantelfläche werden vier gleichseitige Dreiecksöffnungen (s = 3 cm) herausgeschnitten.

  1. Bestimme den Flächeninhalt des Zylinderbodens.
  2. Berechne den Flächeninhalt der Dreiecksöffnungen eines Windlichts. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
  3. Zum Abschluss des Projekts sollen die Außenflächen aller Windlichter farbig angestrichen werden. Wie viele Dosen Farbe mit je 250 ml werden benötigt, wenn einen Dose für eine Fläche von 2,5 m2 ausreicht.

 Lösung

  1.  qa-2006-IIb
    Umfang

    M = Umfang * h

    471 cm² = Umfang * 15  | : 15
    Umfang = 31,4 cm
    Durchmesser
    U = d * 3,14
    31,4 : 3,14 = 10 cm
    Radius: 10 cm : 2 = 5 cm
    Bodenfläche
    A = r * r * 3,14
    A = 5 * 5 * 3,14 = 78,5 cm²
  2. Dreieckshöhe
    h² + 1,5² = 3²
    h² = 6,75          | √
    h  = 2,59 cm = 2,6 cm
    Vier Dreiecke
    A = 4 * g * h : 2
    A = 4 * 3 * 2,6 : 2 = 15,6 cm²
  3. Außenflächen der 65 Windlichter
    65 * (471 + 78,5 - 15,6) = 34703,5 cm² = 3,47035 m²
    2 Dosen reichen für 5 m²

 

zurück QA 2006: Aufgabengruppe  III, Nr. 1

Familie Eder informiert sich über aktuelle Internettarife:

Tarif A Tarif B
  • 1,5 Cent pro Minute
  • ohne Grundgebühr
  • 3600 Freiminuten pro Monat
  • Jede weitere Minute 0,7 Cent
  • Monatliche Grundgebühr 29,95 €

Dazu  hat Familie Eder ihre monatlichen Stunden im Internent notiert:

 März April Mai Juni
45 h 62 h 55 h
60 h
    1.  Wie hoch wäre ihre Gesamtrechnung von März bis Juni, wenn sie Tarif A gewählt hätte? Gib das Ergebnis in € an.
    2. Wie viele Euro hätte Familie Eder für ihre Internetnutzung im April in Tarif B zahlen müssen?
    3. Um wie viel wäre Tarif B für den April günstiger als Tarif A gewesen?
    4. Sohn Thomas surft pro Monat im Schnitt 12 Stunden. Er soll dafür monatlich 3,50 € von seinem Taschengeld beisteuern. Wie viele Cent würde ihn dann eine Minute kosten?

Lösung

  1. 1 Stunde Internet bei Tarif A
    1,5 Cent * 60 = 90 Cent = 0,9 €
    Kosten für die Monate März bis Juni
    (45 + 62 + 55 + 60) * 0,9 € = 222 * 0,9 € = 199,80 €
  2. Freistunden im Monat bei Tarif B
    3600 min : 60 = 60 Stunden
    Im April müssen 2 mal 60 Minuten bezahlt werden
    Kosten für 120 min
    120 * 0,7 Cent = 84 Cent = 0,84 €
    Gesamtkosten: Grundgebühr + Kosten für 120 min
    29,95 € + 0,84 € = 30,79 €
  3. Kosten im April bei Tarif A
    62 h = 62 * 60 min = 3720 min
    1,5 Cent * 3720 = 5580 Cent = 55,80 €
    Ersparnis bei Tarif B
    55,80 € - 30,79 € = 25,01 €
  4. Surfzeit von Thomas
    12 * 60 Minuten = 720 Minuten
    Kosten pro Minute für Thomas
    3,50 € : 720 = 0,0049 € = 0,49 Cent

zurück QA-2006 - Aufgabengruppe  III, Nr. 2

qa-2006-IIIHerr Klein gewinnt im Lotto. Einen Teil des Gewinns legt er bei seiner Hausbank zu einem Zinssatz von 2,4 % an und erhält nach einem Jahr 384 € Zinsen. Vom Restbetrag in Höhe von 18 000 € kauft Herr Klein Aktien. Am Ende des Jahres verkauft er diese Aktien mit einem Verlust von 2 %.

    1. Welchen Betrag legt er bei der Hausbank an?
    2. Wie viele Euro verliert Herr Klein beim Aktienverkauf nach einem Jahr?
    3. Welcher Gesamtbetrag steht Herrn Klein nach einem Jahr zur Verfügung?
    4. Welcher Gesamtbetrag stünde ihm nach einem Jahr zur Verfügung, wenn er den gesamten Lottogewinn gleich bei seiner Hausbank angelegt hätte?

Lösung

  1. Anlagebetrag bei der Hausbank
            Z  = K * p * t / (100 * 360)

         384 = K * 2,4 * 360 / (100 * 360)
         384 = K * 2,4           / 100                  | * 100
    38 400 = K * 2,4                                     | : 2,4
    16 000 = K
    Herr Klein hat 16 000 € bei der Bank angelegt
  2. Verlust beim Aktienkauf
    100 % = 18 000 €
        1 % = 18 000 € : 100 = 180 €
        2 % = 180 € * 2 = 360 €
    Mit den Aktien macht er 360 € Verlust.
  3. Gesamtbetrag nach 1 Jahr
    Bankanlage +  Zins   + Aktienanlage - Verlust
    16 000 €    + 384 € +     18 000 €   - 360 € = 34 024 €
    Nach 1 Jahr hat sich sein Lottogewinn auf 34 024 € vermehrt.
  4. Gesamtbetrag nach einem Jahr, wenn er alles bei der Bank angelegt hätte
    Gewinn: 16 000 € + 18 000 € = 34 000 €
    100 % = 34 000 €
        1 % = 34 000 € : 100 = 340 €
     2,4 % = 340 € * 2,4 = 816 €
    34 000 € + 816 € = 34 816 €
    Hätte er den ganzen Lottogewinn bei der Bank angelegt, hätte er jetzt 34 816 €.

zurück QA 2006: Aufgabengruppe III, Nr. 3

qa-2006 IIIbEin massives kegelförmiges Werkstück hat eine zylinderförmige Aussparung m(siehe Skizze). Die Höhe dieser Aussparung beträgt 2/3 der Kegelhöhe, der  Umfang der Aussparung 25,12 cm. Berechne das Volumen des Werkstücks.







Lösung

Radius des ausgesparten Zylinders
U        = d * 3,14
25,12 = d * 3, 14    | : 3,14
  8       = d
  r        = 4 cm

Kegelhöhe
hk² = 30² - 18²
hk² =   576       | √
hk  =      24 cm

Höhe des ausgesparten Zylinders
24 cm : 3 * 2 = 16 cm

Volumen des Werkstückes
VKegel =         A            hk : 3
VKegel = 18² * 3,14 * 24 : 3 =
          = 8138,88 cm³ 

VZylinder =         A          hk
VZylinder
= 4 * 4 * 3,14  * 16 =
             = 803,84 cm³

VWerkstück = VKegelVZylinder
VWerkstück 8138,88 cm³ 803,84 cm³
= 7335,04 cm³
qa-2006-III-b


 

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Robert, ein Azubi in der Schreinerei Holzer, soll zwei rechteckige, gleich breite Arbeitsplatten mit einer Länge von 280 cm und 190 cm für eine Einbauküche zur Montage vorbereiten (siehe Skizze; Maße in cm).

qa-2006-IV-2

a) Berechne die Breite der Arbeitsplatte. Runde auf ganze cm.
b) Die beiden Arbeitsplatten werden nach dem Zuschnitt an der Stoßkante s zusammengefügt und die Ausschnitte für Spüle und Kochfeld ausgesägt (siehe Skizze).

Berechne den gesamten Abfall in cm2.

Lösung

a) Breite b der Arbeitsplatteqa-2006-IV-2b
    s²     = b² + b²
99 * 99 =    2 b²
  9801   =    2 b²   | : 2
  4900,5=       b²   | √
     70   =       b  

qa-2006-IV-2cSpüle
ASpüle     = 2 Halbkreise + Recheck

rHalbkreis = 50 : 2 = 25 cm
bRechteck = 75 -50 = 25 cm
ASpüle     = 2 * 25² * 3,14 : 2 + 50 * 25 =
              =       1962,5           +   1250  =  3212,5 cm²

qa-2006-IV-2dKochfeld
AKochfeld =  a  * b
AKochfeld = 56 * 48 = 2688 cm²

Abfall insgesamt (braun)
qa-2006-IV-2e
AAbfall = Spüle + Kochfeld +2 Dreiecke
AAbfall =  3 212,5      +  2 688 + 2 * 70 * 70 / 2 =
          =  3 212,5      + 2 688  +       4 900       = 10 800,5 cm² 

zurück 2006: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

Peter will sich ein Notebook kaufen. In einem Elektronikmarkt sieht er ein Angebot:

849 € incl. 16 MWSt

  1. Wie hoch ist die im Angebotspreis enthaltene Mehrwertsteuer?
  2. Die Bundesregierung plant ab dem Jahr 2007 eine Erhöhung der Mehrwertsteuer von 16 % auf 19 %. Welchen Preis hätte das Notebook nach der Mehrwertsteuererhöhung? Runde auf ganze €.
  3. Um wie viel Prozent würde der Kaufpreis dieses Notebooks ab 2007 für den Verbraucher tatsächlich steigen?

Lösung

a) 116 % = 849 €
      1 % = 849 / 116 = 7,31896551724138
    16 % = 7,3189* 16 = 117,1024 117,10 €
   Im Preis sind 117,10 € MWSt enthalten.

 

b) Preis ohne MWSt
   849 € – 117,10 € = 731,90 €

   100 % = 731,90 €
     1 % = 7,319 €
   119 % = 7,319 * 119 = 870,961
871 €
   Der neue Preis wäre 871 €.

c) Preissteigerung in Euro
   871 – 849 = 22 €
   Preissteigerung in Prozent
   100 % = 849 €
     1 % = 8,49 €
   22 / 8,49 = 2,59 %
   Das wären 2,59 % Preissteigerung

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Der "BODY-MASS-INDEX" gibt Auskunft darüber, ob eine Person Unter-, Normai- oder Übergewichthat (siehe Tabelle).

BMI Frauen    BMI Männer
<17 Untergewicht   <17 Untergewicht
17-19 leichtes Untergewicht   17-20 leichtes Untergewicht
19-24 Normalgewicht   20-25 Normalgewicht
24-28 leichtes Übergewicht   25-28 leichtes Übergewicht
28-36 Übergewicht   28-35 Übergewicht
35-40 krankhaftes Übergewicht   35-40 krankhaftes Übergewicht
>40 sehr krankhaftes Übergewicht   >40 sehr krankhaftes Übergewicht

Man berechnet den BMI, indem man das Gewicht (in kg) durch das Quadrat der Körpergröße (in m) dividiert.

    1. Stelle eine Formel für die Berechnung des BMI auf.
    2. Berechne die gesuchten Größen unter Verwendung der Formel aus Aufgabe a:
      Verena Stefan Albert
      BMI ? 27 25
      Größe 165 cm 173 cm ?
      Gewicht 49 kg ? 74 kg
    3. Stefan möchte sein Normalgewicht mit einem BMI von 22 erreichen. Wie viele Kilogramm müsste er abnehmen?

Lösung

  1. Formel
    BMI = Gewicht in kg / Körpergröße²
  2. BMI von Verena
    BMI = Gewicht in kg / Körpergröße²
    BMI = 49 / 1,65²
    BMI = 49 / 2,7225
    BMI = 17,99 = 18,0
    Gewicht von Stefan
    BMI  = Gewicht in kg / Körpergröße²
      27  = Gewicht / 1,73²
      27  = Gewicht / 2,9929     | * 2,9929
    80,8 = Gewicht
    Größe von Albert
    BMI  = Gewicht in kg / Körpergröße²
      25  = 74 / Körpergröße²             | * Körpergröße²
      25 * Körpergröße²  = 74             | : 25
              Körpergröße²  = 2,961        | √
              Körpergröße    = 1,72
    Verena hat einen BMI von 18,0, Stefan wiegt 80,8 kg und Albert ist 1,72 m groß.
  3. Stefans Gewicht bei einem BMI von 22
    BMI  = Gewicht in kg / Körpergröße²
      22  = Gewicht / 1,72²
      22  = Gewicht / 2,9584             | * 2,9584
    65,1 = Gewicht
    Wie viel kg hat Stefan jetzt noch mehr?
    80,8 kg - 65,1 kg = 15,7 kg
    Stefan müsste 15,7 kg abnehmen.
 
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