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Mathe-Quali 2004: Aufgaben mit Lösungen

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zurück 2004 -  Aufgabengruppe I, Nr. 1

qa-2004-I-1

Lösung

Mit Hauptnenner 2 multiplizieren
7 * (20,5 x - 315) + 215 = 145 x - 61,5 x + 410
     143,5 x - 2205 + 215 = 83,5 x + 410               | - 83,5 x
         60 x - 1990           =            + 410              | + 1990
         60 x                     =              2400              | : 60
              x                     =                 40

QA 2004: Aufgabengruppe  I, Nr. 2zurück

Franz fährt mit seinem Mofa um 18:00 Uhr mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 20 km/h nach Hause. Seine Wegstrecke beträgt 40 km. Nach einer Fahrt von 30 Minuten springt an seinem Mofa die Antriebskettte ab. Hilfe suchend ruft er seinen Vater an.
15 Minuten später hat er allerdings die Panne selbst behoben und fährt mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit weiter. Jetzt startet sein Vater mit dem Auto und fährt seinem Sohn mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 60 km/h entgegen.
Löse zeichnerisch, verwende für das Koordinatensystem folgenden Maßstab:
   1 cm -> 10 min
   1 cm ->  5 km

      1. Um wie viel Uhr treffen sich die beiden?
      2. Welche Strecke hat Franz bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt, welche sein Vater?

Lösung
qa-2004 I-2b

zurück QA 2004: Aufgabengruppe  I, Nr. 3

  1. Silke will sich ein Mountainbike kaufen, das 790 € kostet. Dafür stehen ihr drei Geldquellen zur qa-2012-I-3bVerfügung:

    1. Ihr letztes Geburtstagsgeld von 150 € hat sie 10 Monate lang angelegt und kann nun einschließlich Zinsen 152,25 abheben. Welchen Zinssatz gewährte ihr die Bank?
    2. Ihre Oma hat über eine Zeit von 4 Jahren 1200 € in einem Sparbrief zu 3,2 % angelegt. Sie schenkt Silke die Hälfte der Zinsen, die sie für diesen Zeitraum bekommen hat. Welche Summe erhält Silke von ihrer Oma?
    3. Den Betrag, der ihr jetzt noch zum Kauf des Mountainbikes fehlt, verdient sich Silke durch das Austragen von Prospekten. Monatlich erhält sie dafür 65 €. Wie viele Monate muss Silke arbeiten?

Lösung

  1. Zinsen in Euro in 10 Monaten
    152,25 - 150 = 2,25 €
    Jahreszins
    10 Monate = 2,25 €
      1 Monat   = 2,25 € : 10 = 0,225 €
    12 Monate  = 0,225 * 12 = 2,70 €
    Zinssatz
    100 % = 150 €
        1 % = 1,5o €
    2,70 : 1,50 = 1,8 % gewährte die Bank als Zinssatz
  2. Zinsen von Oma für 1200 €
    Jahreszins
    100 % = 1200 €
        1 % = 12,00 €
      3,2 % = 12,00 * 3,2 = 38,40 €
    Zins fü 4 Jahre
    38,40 * 4 = 153,60 €
    Die Hälfte für Susi
    153,60 : 2 = 76,80 € von Oma
  3. Was noch fehlt
    790 - 152,50 - 76,80 = 560,70 €
    So lang muss Silke arbeiten
    1 Monat : 65 €
    560,70 : 65 =8,63 Monate
    Susi muss 9 Monate Zeitungen austragen.

zurück QA 2004: Aufgabengruppe I, Nr. 4

qa-2004-I-4Magda bastelt einen oben offenen Geschenkkarton. Die Seitenwände bestehen aus vier gleichschenkligen Trapezen (siehe Skizze; Maße in cm).

  1. Skizziere das Netz dieses Geschenkkartons.
  2. Berechne die Gesamtfläche des benötigten Kartons, wenn für die Klebefalze zusätzlich noch 132 cm² erforderlich sind.
  3. Für die Bastelarbeit verwendet Magda einen rechteckigen Bogen Kartonpapier (Maße: Länge 90 cm, Breite 75 cm). Berechne den Verschnitt in Prozent
a) Skizze
qa-2004-I-4b    qa-2004-I-4c
b) Höhe einer Seitenwand (Abstand der beiden parallelen Kanten)

a² =  22²  -  5²
a² = 484  - 25
a² =     459              | √
a  =  21,42 cm
Fläche einer Seitenwand
AWand = 2 * Dreieck + Rechteck
AWand = 2 * 5 * 21,42 / 2 + 20 * 21,42 =
           =       107          +   428       =  535,5 cm²
Fläche des Kartons
AKarton = 4 * Wand +  Boden  + Klebefalze
AKarton = 4 *  535,5   +  30 * 30  +   132 =
            =     2142  +     900    +   132 = 3174 cm² 

c)  Fläche des Papierbogens
     APapier = 90 * 75 = 6750 cm²
     Verschnitt in cm²
     6750 - 3176 = 3576 cm²
     Verschnitt in %
     100 % = 6750 cm²
         1 % = 67,5 cm²
      3576 : 67,5 ≈ 52,9 [%]

zurück 2004: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Vermindert man eine Zahl um ihren vierten Teil und halbiert diese aldi-tastenDifferenz, so ergibt das um 5 weniger, als wenn man von der Hälfte der gesuchten Zahl 20 subtrahiert. Wie heißt diese Zahl? Löse mithilfe einer Gleichung.

Lösung

(x - 0,25 x) : 2  = 0,5 x - 20 - 5
0,75 x : 2        = 0,5 x - 25        | * 2
0,75 x             =  x - 50            | + 50 - 0,75 x
         50          = 0,25 x            | * 4
        200         =        x

zurück QA-2004: Aufgabengruppe II, Nr. 2

Frau Erdan schließt mit Autohändler Hauser einen Leasing-Vertrag zu folgenden Bedingungen ab:

Neuwagenpreis
Wert des alten Autos
22 500 €
- 3 000 €
Restsumme 19 500 €
Anzahlung
Bearbeitungsgebühr
Monatliche Leasingrate
Laufzeit des Leasingvertrages
35 % der Restsumme
0,75 % des Neuwagenpreises
219 €
3 Jahre

  1.  Zu Vertragsbeginn sind Anzahlung und Bearbeitungsgebühr fällig. Welchen Betrag muss FrauErdan an Händler Hauser zahlen?
  2. Das Angebot des Händlers beinhaltet auch die Möglichkeit, das Fahrzeug nach Ablauf desLeasing-Vertrages zu kaufen. Der Kaufpreis würde 112 % aller bisher gezahlten Leasing- Raten entsprechen. Berechne den Kaufpreis.
  3. Frau Erdan entschließt sich nach 3 Jahren tatsächlich das Auto zu kaufen. Wie viele Euro hatsie nun für das Auto insgesamt ausgegeben, wenn man den Wert ihres alten Autos miteinschließt?
  4. Um wie viel Prozent überschreiten diese Gesamtkosten den ursprünglichen Neuwagenpreis?

Lösung

  1. Anzahlung: 35 % der Restsumme + Bearbeitungsgebühr
    Restsumme: 100 % = 19500 €
                            1 % = 195,00 €
                           35 % = 195,00 * 35 = 6 825 €
    Bearb.-Geb:  100 % = 22 500 €
                           1 % = 225 €
                        0,75 % = 225 * 0,75 = 168,75 €
    Gesamt: 6 825 € + 168,75 € = 6 993,75 €
  2. Bezahlte Raten in 3 Jahren (= 36 Monate)
     1 Monat:    219 €
    36 Monate: 219 * 36 = 7 884,00 €
    Kaufpreis: 100 % = 7 884 €
                        1 % = 78,84 €
                     112 % = 78,84 * 112 = 8 830,08 €
  3. Tatsächlich beim Kauf ausgegeben:
    Altes Auto:              3 000,00 €
    Anzahlung:              6 825,00 €
    Bearbeitungsgebühr:  168,75 €
    Leasingraten:          7 884,00 €
    Kaufpreis::              8 830,08 €
    -----------------------------------------------
    Summe                 26 707,83 €
  4. Mehrausgaben im Vergleich zum Neuwagenpreis
    In Euro:               26 707,83 € - 22 599,99 € = 4 207,83 €
    in Prozent:           100 % = 22 500 €
                                  1 % = 225,00 €
                                4 207,83 : 225 =18,7 %

zurück QA 2004: Aufgabengruppe II, Nr. 3

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A (-3 | 1) und B (6 | -4) ein. Verbinde die beiden Punkte zur Strecke [AB]. Führe die folgenden Aufträge als Konstruktion mit Zirkel und Lineal durch.
    1. Konstruiere den Punkt C so, dass das gleichschenklige Dreieck ABC entsteht, dessen Höhe hC eine Länge von 9,5 cm hat.
  • 2004 BII 3 Loes1Punkte A und B einzeichnen
  • Teilkreise um A und B mit gleichem Radius zeichnen
  • Die Mittelsenkrechte durch die Schnittpunkte der Teilkreise zeichnen
  • S ist der Schnittpunkt der Strecke AB mit der Mittelsenkrechten
  • 2004 BII 3 Loes2Um den Schnittpunkt S einen Teilkreis mit dem Radius r=9,5 cm zeichnen
  • Der Schnittpunkt des Teilkreises mit der Mittelsenkrechten ist der fehlende Punkt C des gleichschenkligen Dreiecks ABC
  1. Konstruiere den Mittelpunkt M des Inkreises des Dreiecks ABC und zeichne den Kreis dazu ein.
  1. Die Höhe hC schneidet die Strecke [AB] im Punkt S. Verlängere die Strecke [CS] über S hinaus um die Hälfte ihrer Länge. Der Endpunkt dieser neu entstandenen Strecke wird mit P bezeichnet. Verbinde P mit  und B zu einem Drachenviereck APBC.

2004 BII 3 Loes3

  • Den Winkel an Punkt B durch die Winkelhalbierende halbieren (grün)
  • Der Schnitpunkt M der grünen Winkelhalbierenden mit der roten Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Inkreises
  • Den Inkreis um M mit dem Radius r=[MB[ zeichnen

2004 BII 3 Loes4

  • Die Strecke CS halbieren
  • Um den Punkt S einen Teilkreis mit der Hälfte der Strecke SC zeichnen.
  • Der Schnittpunkt des Teilkreises mit der Mittelskenkrechten ist der Punkt P
  • Punkt P mit den Punkten A und B zum Drachenviereck verbinden

Angaben ohne Gewähr

 

zurück QA 2004: Aufgabengruppe II, Nr. 4

Ein massives Werkstück wird aus Messing (Dichte ρ = 8,5 kg/dm³) hergestellt. Es hat die Form eines Zylinders, aus dem zwei gleich qa-2004 II-4bgroße Kegel herausgefräst  werden (siehe Skizze; Maße in mm). Dadurch verringert sich die Masse des Zylinders um ein Fünftel. Berechne die Höhe eines Kegels.


Lösung

Volumen des Zylinders
r = 400 : 2 = 200 mm = 2 dm
hk = 750 mm = 7,5 dm
V  =      A           * hk
V = 2 * 2 * 3,14 * 7,5 = 94,2 dm³

Volumen der herausgefrästen Kegel
2 Kegel = 94,2 : 5 = 18,84 dm³
1 Kegel = 18,84 : 2 = 9,42 dm³

Höhe eines Kegels
r = 320 : 2 = 160 mm = 1,6 dm
  V   =         A               * hk : 3
9,42 = 1.6 * 1,6 * 3,14 * hk : 3

9,42 =      8,0384        * hk : 3      | * 3 : 8,0384
3,515625  = hk
Ein Kegel ist 3,52 dm hoch.


zurück 2004 -  Aufgabengruppe III, Nr. 1

qa-2004-III-1

Lösung      

mit Hauptnenner 4 x multiplizieren

14 -  x * ( 4 / x  - 14)  = 4 (6 + x) - 2 + 6 x
14  -        4   + 14 x  =  24  + 4x - 2 + 6 x
    10        + 14 x      =   22  + 10 x             | - 10 x
    10         +  4 x      =    22                       | - 10
                 + 4 x      =    12                        | : 4
                       x      =     3

zurück QA 2004: Aufgabengruppe III, Nr. 3

qa.2004 III-3Herr Weiß möchte den Boden seines Partykellers neu fliesen. Er sucht sich dazu Fliesen in Form eines regelmäßigen Secheckes mit einer Kantenlänge von 18 cm aus.

  1. Zeichne eine Fliese im Maßstab 1 : 6.
  2. Berechne den Flächeninhalt einer Fliese.
  3. qa-2004-III-3bZeichnung im Maßstab 1:6Der Partykeller ist 5,40 m lang und 4,50 m breit. Mit wie viel Prozent Verschnitt hat Herr Weiß kalkuliert, wenn er 15 Kartons zu je 22 Fliesen bestellt

a) Zeichnung im Maßstab 1 : 6

b) Höhe des Bestimmungsdreiecks
    18² =  9² + h²
   324  = 81 + h²         | - 81
   243  =        h²         | √
   15,6  =       h

   Fläche einer Fliese
   AFliese = 6 * g * h / 2
   AFliese = 6 * 18 * 15,6 / 2 = = 842,4 cm²

c) qa-2004-III-3cFläche des Partykellers
   AKeller = 5,4 * 4,5 = 24,3 m²

   Fläche der 22 Karton mit je 15 Fliesen
   AFliesen = 22 * 15 * 842,4 = 277 992 cm² = 27,8 m²

   Verschnitt in m²
   27,8 - 24,3 = 3,5 m²

    Verschnitt in %
   100 % = 24,3 m²
       1 % = 0,243 m²
    3,5 m² : 0,243 m² = 14,4 %
  

QA 2004: Aufgabengruppe  III, Nr. 4zurück

In 1 mm³ Blut befinden sich ca. 5 * 106 rote Blutkörperchen. Ein Erwachsener besitzt ca. 6 Liter Blut.

  1. Wie viele rote Blutkörperchen besitzt er?
  2. Ein rotes Blutkörperchen hat einen Durchmesser von 7 * 10-3 mm. Wie viele Kilometer lang wäre das Band, wenn man alle roten Blutkörperchen eines Menschen aneinander legen würde?
  3. Die durchschnittliche Lebensdauer eines roten Blutkörperchens beträgt 120 Tage. Wie viele rote Blutkörperchen werden im Lauf von 50 Jahren gebildet? Rechne mit 360 Tagen im Jahr.QA

Lösung

  1. 6 Liter = 6 dm³ = 6 000 cm³ = 6 000 000 ml
    5 * 106 * 6 000 000= 30 000 000 * 106 = 3 * 1013 rote Blutkörperchen
  2. 1 Blutkörperchen:                 7 * 10-3 mm
    3 * 1013 rote Blutkörperchen: 7 * 10-3 mm * 3 * 1013 = 21 * 1010 mm
    21 * 107 mm = 210 000 000 mm = 210 000 m = 210 000 km
  3. 120 Tage: 3 * 1013 rote Blutkörperchen
    360 Tage: 3 * 3 * 1013 = 9 * 1013 rote Blutkörperchen
    50 Jahre: 50 * 9 * 1013 = 450 * 1013 = 4,5 * 1015 rote Blutkörperchen

zurück 2004: Aufgabengruppe IV - Aufgabe 1

Die Fußball – B – Jugend des FC Bini hat in der letzten Saison mit 88 qa-2004-IV-1bTreffern einen neuen Torrekord aufgestellt. Alois, Pedro und Karl sind die besten Torjäger ihrer Mannschaft. Alois traf dreimal häufiger als Pedro, Karl schoss eine Sechstel der Tore von Alois. Die übrigen Spieler ihrer Mannschaft erzielten zusammen ebenso viele Tore wie Pedro.

Wie viele Tore erzielten jeweils Alois, Pedro und Karl in dieser Saison? Löse die Aufgabe mithilfe einer Gleichung.

Lösung

Alois + Pedro + Karl + Rest = 88
3 * Pedro  +  Pedro  + 3 * Pedro : 6   + Pedro  = 88
3 * Pedro  +  Pedro  +  0,5 * Pedro    + Pedro  = 88
         5.5 Pedro                                              = 88   | 5,5
              Pedro                                               = 16

Pedro: 16 Tore
Alois: 3 * 16 = 48 Tore

Karl: 48 : 6   =  8 Tore
Übrige Spieler: 88 - 16 - 48 - 8 = 16 Tore

QA 2004: Aufgabengruppe  IV, Nr. 2zurück

Eine 9. Klasse mit 25 Schülern plant ihre Abschlussfahrt. Als Kosten soll ein Höchstbetrag von 160 € pro Schüler nicht qa-2010-b-II-1büberschritten werden.
    Kostenaufstellung
    - Pauschalpreis für die Busfahrt: 1 584 €
    - Jugendherberge (inkl. Vollverpflegung): 98 € pro Schüler
     - Vom Elternbeirat erhält die Klasse 220 € Zuschuss.

  1. Auf wie viel Euro belaufen sich die Kosten pro Schüler?
  2. Kurz vor der Fahrt stellt sich heraus, dass drei Schüler nicht teilnehmen können. Kann der festgelegte Höchstbetrag eingehalten werden?

Lösung

  1. Kosten pro Schüler bei 25 Teilnehmern
    Bus:              1584 : 25 = 63,36 €
    + Verpfegung:                 98,00 €
    - Zuschuss:     220 : 25 = - 8,80 €
    --------------------------------------------
    Kosten                            152,56 €
  2. Kosten pro Schüler bei 22 Teilnehmern
    Bus:              1584 : 22 = 72,00 €
    + Verpfegung:                 98,00 €
    - Zuschuss:     220 : 22 = -10,00 €
    --------------------------------------------
    Kosten                            160,00 €

Der Höchstbetrag von 160 € kann eingehalten werden.

zurück QA-2004: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

Die folgende Tabelle zeigt die Umsätze des deutschen Videomarktes in Euro.

 Jahr  Vermietung Verkauf  Gesamt 
VHS-Kassette    DVD   VHS-Kassette    DVD   
1999 218 3 477 42 860
2000 328 13 423 170 934
2001 315 41 384 407 1 147
2002 218 141 327 713 1 399
  1.  Um wie viele Millionen Euro veränderte sich der Umsatz bei der Vermietung von VHS-Kassetten von 2001 auf 2002?
  2. In welchem Jahr war beim Gesamtumsatz die größte Veränderung im Vergleich zum Vorjahr festzustellen? Gib den Unterschied in Euro an.
  3. Berechne die prozentuale Veränderung des Umsatzes beim Verkauf der DVD von 2000 auf 2001.

  4. Stelle in einem Säulendiagramm den Umsatz beim Verkauf von VHS-Kassetten von 1999 bis 2002 dar (100 => Mio 2cm).

Lösung

    1. Vermietung 2001: 315 Mio. VHS-Kassetten
      Vermietung 2002: 218 Mio. VHS-Kassetten
      Rückgang 2002  : 315 Mio. - 218 Mio. = 97 Mio.
    2. Veränderung im Gesamtumsatz
      2000 - 1999:    934 Mio -    860 Mio =    74Mio
      2001 - 2000: 1 147 Mio -    934 Mio =  213 Mio
      2002 - 2001: 1 399 Mio - 1 147 Mio =  252 Mio
      Von 2001 auf 2002 stieg der Gesamtumsatz um 252 Mio.
    3. Steigerung von 2000 auf 2001
      407 Mio, - 170 Mio. = 347 Mio.
      2000: 100 % 170 Mio.

                   1 % = 1,7 Mio
                237 Mio : 1,7Mio = 139,4 %
      Der Umsatz stieg um 139,4 %.
    4. Säulendiagramm
    5. qa.2004-IV-3

zurück QA 2004: Aufgabengruppe  IV, Nr. 4

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Prisma und einer Pyramide. Die quadratischen Grundflächen beider Teilkörper sind gleich groß. Das Prisma hat eine Körperhöhe von 5 cm. Die Länge der Grundkante beträgt 3 cm. Das Volumen der Pyramide ist halb so groß wie das Volumen des Prismas.

  1. qa-2004-IV-4bFertige eine Skizze an und trage die gegebenen Maße ein.
  2. Berechne die Körperhöhe der Pyramide.
  3. Berechne die Länge einer Raumdiagonalen des Prismas


Lösung

a) Höhe der Pyramide

Volumen des Prismas
V =     A * hk
V = 3 * 3 * 5 = 45 cm³

Volumen der Pyramide
45 cm³ : 2 = 22,5 cm³

Höhe der Pyramide
V =         A   * hk  : 3
22,5 = 3 * 3 * hk  : 3    | : 3
 
7,5 =            hk 

a) Raumdiagonale des Prismas

qa-2004-IV-4cDiagonale d1 der Grundfläche
3² + 3² = d1²
   18     = d1²          | √
4,24     = d1

Raumdiagonale d2
5² + 4,24² = d2²
25 + 18    = d2²
     43        = d2²         | √
   6,557
     = d2


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