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Mathe-Quali 2003: Aufgaben mit Lösungen

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zurück 2003: Aufgabengruppe I, Nr. 1 - Lösung

  1. qa-2003-I-1bEin neues Wellenbad wurde am Eröffnungstag von insgesamt 506 Personen besucht. Dabei war die Anzahl der Jugendlichen um 20 geringer als die doppelte Anzahl der Kinder. Die Zahl der Erwachsenen betrug ein Zehntel der Zahl der Jugendlichen.

Wie viele Kinder, Jugendliche und Erwachsene besuchten jeweils das Wellenbad? Löse mithilfe einer Gleichung.

Lösung
qa-2003-I-2a
506 =     k                +         2 * k - 20          +     (2 * k - 20)  : 10
506 =             3 k - 20    + 0,2 k - 2 
506 =              3,2 k  - 22                            | + 22
528 =              3,2 k

165 =                   k

Kinder:                                       165
Jugendliche:           165 *2 - 20 = 310
Erwachsene: (165 * 2 - 20) : 10 =   31

zurück QA 2003: Aufgabengruppe I, Nr. 2

Bei einem Spielwarenhersteller werden Kreisel (sihe Skizze; Maße in mm) hergestellt.

  1. Berechne die Gesamthöhe des Kreisels.
  2. Wie schwer ist der Kreisel (Dichte: ρ = 8,5 g/cm³)?

Lösung

qa-2003-I-2ca) Gesamthöhe des Kreisels

   Höhe des Kegels unten

   hk² =   50²  -  40²
   hk² = 2500 - 1600
   hk² =     900             |√
   hk   =       30

  Gesamthöhe
  28 + 15 + 30 = 73 mm

b) Gewicht des Kreisels

  Volumen des oberen Zylinders

  V =       A           * hk
  V = 5 * 5 * 3,14 * 28
     =      
78,5      * 28 = 2 198 mm³

  Volumen des mittleren Zylinders
   V =       A           * hk
   V = 20 * 20 * 3,14 * 28
      =       
1256         * 15 = 18 840 mm³

  Volumen des Kegels unten
  V =       A               *  hk    : 3
   V = 40 * 40 * 3,14  * 30  : 3 =
      =            5 024     * 30   : 3 =
      =                
150 720       : 3  = 50 240 mm³

  Volumen des Kreisels
  V = oberer Zylinder + mittlerer Zylinder + unterer Kegel
  V =      2 198            +       18 840          +     50 240 
     = 71 278 mm³

  Gewicht des Kreisels
  71 278 mm³ = 71,278 cm³
      1      cm³ = 8,5 g
  71,278 cm³ = 8,5 * 71,278  = 605,863 g

zurück QA-2003: Aufgabengruppe I, Nr. 3

Herr Martini hat für seine Wohnung eine Hausratversicherung abgeschlossen. Bei einem Prämiensatz von 2,75 ‰ verlangt die Versicherung einen Beitrag von 47,85 € im Jahr, in dem die Versicherungssteuer von 16 % bereits enthalten ist.

  1. Wie hoch ist die Prämie ohne Versicherungssteuer?

  2. Berechne die Höhe der abgeschlossenen Versicherungssumme.

  3. Nach einem Wassereinbruch entsteht in der Wohnung ein Schaden von 20000 €. Die Versicherungssumme deckt nur 40 % des aktuellen Wertes des Hausrates ab. Deshalb zahlt die Versicherung auch nur 40 % des entstandenen Schadens. Wie viel Euro Schadenersatz erhält Herr Martini?

  4. Nachdem sich Herr Martini neu eingerichtet hat, möchte er seinen Hausrat besser versichern und wählt eine Versicherungssumme von 50000 €. Er zahlt dafür einen Beitrag von 157,76 € im Jahr, in dem die Versicherungssteuer von 21,76 € enthalten ist. Berechne den Promillesatz der Prämie.

Lösung

  1. 116 % = 47,85 €
       1 % = 47,85 : 116 = 0,4125 €
    100 % = 0,4125 * 100 = 41,25 €
  2. Prämie:        2,75 ‰ = 41,25 €
                           1 ‰ = 41,25 : 2,75 = 15 €
    Versichert:  1000 ‰ = 15 * 1000 = 15 000 €
  3. Ganzer Schaden:   100 % = 20 000 €
    Bezahlter Schaden:  40 % = 20 000 : 100 * 40 = 8 000 €
  4. Prämie ohne Steuer
    157,76 - 21,76 = 136 €
    Versichert:   1 000 ‰ = 50 000 €
                                1 ‰ = 50 000 : 1000 = 50 €
    Prämie:        135 : 50  = 2,72 ‰

zurück QA 2003: Aufgabengruppe  I, Nr. 4

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem die Punkte A(-3,5 | 1,5), B(3,5 | 3) und W(0 | 4) ein.
    Hinweis: Führe die nachfolgenden Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durch.
  1. Der Punkt W ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC. Konstruiere dieses Dreieck ABC.
  1. Die Strecke [AB] soll im Maßstab 2:1 vergrößert werden (k=2). Verlängere sie dazu über B hinaus und bezeichne den neu entstanden Punkt mit D.
2003 BI 4a
  • Die Winkelhalbierende von A aus durch den Punkt W einzeichnen (rot)
  • Teilkreis um A mit dem Radius r=AB schlagen (rot)
  • Um den Schnittpunkt des Teilkreises mit der Winkelhalbierenden einen weiteren Teilkreis mit dem Radius SB zeichnen
  • Der Schnittpinkt der beiden Teilkreise ist die Ecke C des Dreiecks ABC
2003 BI 4b1
  • Die Strecke AB über B hinaus verlägnern (grün)
  • Teilkreis um um B mit dem Radius r=AB schlagen (grün)
  • Der Schnittpunkt ist der Punkt D

Die Strecke [AW] wird im gleichen Maßstab über W hinaus vergrößert und der neue Endpunkt mit E benannt.
Verbinde die Punkte zum Dreieck ADE.

  1. Welches besondere Viereck wird durch die Punkte W, B, D und E festgelegt?
2003 BI 4b2
  • Teilkreis um W mit dem Radius r=AW schlagen (grün)
  • Der Schnittpunkt des Teilkreises mit der Winkelhalbierenden ist Punkt E.
  • Die Punkte ADE zu dreieck verbinden (grün)
2003 BI 4c
  • Die Viereckseite WB ist mit der Seite DE parallel.
  • Ein Viereck mit einem parallelen Seitenpaar ist ein Trapez.

Angaben ohne Gewähr  

zurück 2003 -  Aufgabengruppe II, Nr. 1

 qa-2003-II-1

Lösung

Mit Hauptnenner 30x multiplizieren
   37,5 x  - 5 * (5x - 17) = 10 * 8 + 2 * (7x + 12) +75 x * ( 3/x - 5/6)
   37,5 x  -   25 x + 85   =    80    +    14 x  + 24  +      225   - 62,5 x
   12,5 x              + 85  =   329    -    48,5 x                                     | - 48,5 x
      61 x              + 85  =   329                                                       | - 85
      61 x                       =   245                                                       | : 61
          x                        =      4

QA 2003: Aufgabengruppe  II, Nr. 2zurück

Im Weltraum sind die Entfernungen für Menschen unfassbar broß.

    1. sonnensystemDas Licht der Sonne legt auf seinem Weg zur Erde rund 1,5 * 108 km zurück. Wie lange benötigt es für diese Strecke, wenn die Lichtgeschwindigkeit etwa 300 000 km/s beträgt?
    2. Die Raumsonde Voyager 2 sendete vom Neptun ein Funksignal zur Erde. Dieses Signal wurde mit Lichtgeschwindigkeit übertragen und erreichte die Erde nach 4 Stunden und 6 Minuten.
      Welche Entfernung legte es dabei zurück? Gib das Ergebnis als große Zahl und als Zehnerpotenz an.

Lösung

  1. 1,5 * 108 : 3 * 105 = 1,5 : 3 * 108-5 =  0,5 * 103 = 500 s
    500 s = 8 min 20 s
    Das Licht braucht 8 min 20 s.
  2. 4 h 6 min = 4 * 3600 + 6 * 60 = 14 400 + 360 = 14 760 s
            1 s = 300 000 km
    14 760 s = 300 000 *14 760 = 4 428 000 000 km
    4 428 000 000 km = 4,428 * 109 km

zurück QA 2003: Aufgabengruppe II, Nr. 3

Berechne das Volumen und die Oberfläche des abgebildeten symmetrischen Werkstückes (Maße in mm).


Lösung

Volumen des Quaders
V =      A * hk
V = 60 * 40 * 40 = 96 000 mm³

qa-2003-II-3cVolumen der Aussparung

Fläche des Trapezes
A = (a + c) : 2 * h
A = (30 + 20) : 2 * 20
A = 500 mm²
Volumen der Trapezsäule

V =      A * hk
V = 500 * 40 *20 000 mm³

Volumen des Werkstückes (Quader - Trapezsäule)
96 000 - 20 000 = 76 000 mm³

Oberfläche des Werkstückes

Schräge des Trapezes
s² = 20² + 5²
s² = 425            |√
s   = 20,61  ≈ 20,6 mm
Vorderseite: Rechteck - Trapez
60 * 40 - 500 = 1 900 mm²
Umfang des Trapezes
60 + 40 + 20 + 20,6 + 30 + 20,6 + 20 + 40 = 251,2 mm
qa-2003-II-3d
Mantel = UmfangTrapez * BreiteWerkestück

251,2 * 40 = 10 048 mm²
Oberfläche des Werkstückes
Vorderseite + Rückseite + Mantel
     1 900     +   1900       + 10 048 = 13 648 mm²

zurück QA-2003: Aufgabengruppe II, Nr. 4

Das folgende Schaubild zeigt das Ergebnis der Bundestagswahl in Deutschland vom 22. September 2002.

qa-2003-II-4b

  1. Wie viel Prozent der Zweitstimmen erreichten die Regierungsparteien SPD und die Grünen zusammen, wie viel Prozent entfielen insgesamt auf die Oppositionsparteien CDU/CSU, FDP und PDS?

  2. Berechne die Sitzverteilung der Parteien in Prozent und stelle diese Prozentanteile in einem Säulendiagramm (1% = 2 mm) dar. Runde die Prozentanteile auf eine Dezimalstelle.

  3. SPD und die Grünen bildeten auf 1998 die Regierung. Mit wie vielen Sitzen waren sie damals insgesamt im Bundestag vertreten?

Lösung

  1. Zweitstimmen
    Regierung mit SPD + Bündnis 90/Grüne: 38,5 % + 8,6 % = 47,1 %

    Oppositon mit  CDU/CSU + FDP + PDS: 38,5 % + 7,4 % + 49,9 %
  2. Sitzverteilung
    Sitze insgesamt: 251 + 55 + 2 + 47 + 248 = 603 Sitze

    Gesamt:                  100 % = 603 Sitze
                                        1 % = 6,03 Sitze
    SPD:                          251 : 6,03 = 41,6 %
    Bündnis 90/Grüne:    55 : 6,03 =  9,1 %
    PDS:                              2 : 6,03 =  0,3 %
    FDP:                            47 : 6,03 =  7,8 %
    CDU/CSU:                248 : 6,03 = 41,1 %
    qa.2003-II-4b
  3. Sitze 1998
    SPD: 251 + 47 = 298
    Grüne:  55 -  8  = 47
    298 + 47 = 345 Sitze

zurück 2003 -  Aufgabengruppe III, Nr. 1

 qa-2003-III-1

Lösung

10 x + 60 + 1,5 - 20 x = 26,5 - 5 x - 40
- 10 x       + 61,5         = -13,5 - 5 x         | + 10 x
                + 61,5        = - 13,5 + 5 x       | + 13,5
                + 75           =             5 x       | : 5
                    15          =                  x

zurück QA 2003: Aufgabengruppe III, Nr. 2

Lösung

  1. Zeichne die Strecke [AC] mit der Länge 9 cm.
    Hinweis: Führe die nachfolgenden Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durch.
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte zu [AC]. Bezeichne den Schnittpunkt mit M.
  1. Die Punkte A und C sind die Eckpunkte einer Raute ABCD. Konstruiere die Punkte B und D so, dass die Seitenlänge der Raute 6 cm beträgt.
2003 BIII 2a
  • Die Punkte A und C im Abstand von 9 cm eintragen
  • Teilkreise um A und C zeichnen (rot)
  • Durch diie Schnittpunkte der Teilkreise verläuft die Mittelsenkrechte (rot)
2003 BIII 2b
  • Um die Punkte A und C zwei Teilkreise mit r=6 cm zeichnen, so dass sie sich zweimal schneiden (grün)
  • Die beiden Schnittpunkte derTeilkreise sind die Ecken B und D der Raute.
  • Die Punkte A, B, C und D zur Raute ABCD verbinden
  1. Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels AMB. Der Schnittpunkt mit der Strecke [AB] soll mit N benannt werden.
  1. A, M und N sind die Eckpunkte des Parallelogramms AONM. Konstruiere den fehlenden Punkt O und verbinde die Eckpunkte zum Parallelogramm.
2003 BIII 2c
  • Zwei Teilkreise um A und B zeichnen (blau)
  • Die Winkelhalbierende verläuft durch den Schnittpunkt der beiden Teilkreis (blau).
  • Den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite AB mit N benennen
2003 BIII 2d
  • Einen Teilkreis um A mit r=MN zeichnen (lila)
  • Einen Teilkreis um N mit r=AM zeichnen (lila)
  • Der Schnittpunkt der beiden Teilkreise ist die Ecke O des Parallelogrammes
  1. Berechne die Winkel des Parallelogramms AONM.

Winkel NMA beträgt 45° (Winkelhalbierende), Winkel AON beträgt 45°
Winkel OAM und ONA betragen  je (360° - 2 * 45°) : 2 = 135°

Angaben ohne Gewähr  

QA 2003: Aufgabengruppe III, Nr. 3zurück

Eine Firma nimmt täglich Sicherungen ihrer Daten über Nacht vor. Bei einer durchschnittlich zu sichernden Datenmenge von 160 GB (Gigabyte) brauchen 11 gleichzeitig laufende Computer mit gleicher Leistungsfähigkeit von 22:00 Uhr bis 6:00 Uhr morgens.

    1. Wegen Wartungsarbeiten steht ein Computer weniger zur Verfügung. Um wie viel Uhr wird die Sicherung der Daten beendet sein?
    2. Heute sind ausnahmsweise 140 GB  an Daten zu sichern. Berechne, wie lange die Sicherung beim Einsatz von 11 Computern dauert.

Lösung

  1.  Zeit von 22:00 Uhr bis 6:00 Uhr: 8 Stunden
    1. 11 Computer = 8 h
        1 Computer = 8 h * 11 = 88 h
      10 Computer = 88 h : 10 = 8,8 h = 8 h 48 min
      Die Sicherung dauert 48 min länger und ist um 6:48 beendet.
    2. 160 GB = 8 h
        10 GB = 8 h : 16 = 0,5 h
      140 GB = 0,5 h * 14 = 7 h
      Bei 140 GB dauert die Sicherung 7 Stunden.


zurück QA-2003 - Aufgabengruppe  III, Nr. 4

computerFrau Zwirbel will sich einen Computer mit Zubehör kaufen: Der Rechner mit Tastatur und Maus kostet 999 €, der Preis für den Monitor beträgt 349 €. Frau Zwirbel hat 448 € gespart, 150 € bekommt sie von ihren Eltern.

    1. Wie viel Euro fehlen Frau Zwirbel noch?
    2. Der Händler macht ihr ein Angebot: Frau Zwirbel kann den restlichen Betrag in 12 Monatsraten zu je 68 € zurückzahlen. Welcher Zinssatz wird für die Restzahlung ereinbart?
    3. Auch die Bank macht ihr ein Angebot für die Restzahlung: Bei einem Zinssatz von 8 % müsste sie 90 € Zinsen zahlen. Welche Laufzeit wurde für das Darlehen festgesetzt?
    4. Wie haoch ist die monatliche Belastung beim Angebot der Bank? Runde auf ganze Euro.

Lösung

  1. Gesamtpreis: 999 € + 348 €  = 1348 €
    Verfügbar:      448 € + 150 € = 598 €
    Fehlbetrag:  1 348 €  - 598 € = 750 €
  2. 12 Monatsraten: 68 € * 12 = 816 €
    Jahreszins in Euro: 816 € - 750 € = 66 €
    Jahreszins in Prozent: 100 % = 750 €
                                                1 % = 7,50 €
                                        66 : 7,50 = 8,8 %
  3. Laufzeit des Bankdarlehens 
    Z = K * p * t / (100 * 12)

       90       = 750 * 8 * t / 1200         | * 1200
    108 000 = 750 * 8 * t                    | : 8 : 750
       18       =               t
    Es wurde eine Laufzeit von 18 Monaten festgesetzt.
  4. Monatliche Belastung
    18 Monate: 840 €

      1 Monat:  840 € : 18 = 46,666 € = 47 €

zurück 2003 -  Aufgabengruppe IV, Nr. 1

qa-2003-IV-1

Lösung

Mit Hauptnenne 12 multiplizieren
3 x + 12 = 48 * (0,25 x - 10) - 2 * (5 x + 4)
3 x + 12 =        12 x - 480    -      10 x - 8
3 x + 12 =          2 x - 488                        | - 2x
   x + 12 =               - 488                        | - 12
   x         =               - 500

zurück QA-2003: Aufgabengruppe IV, Nr. 2

qa-2003-IV-2bFrau Böheim will sich einen Großbildfernseher kaufen. Im Internet entdeckt sie ein Gerät zu einem Verkaufspreis von 1723,28 €. In diesem Preis ist die Mehrwertsteuer noch nicht enthalten.

  1. Berechne den Barzahlungspreis bei 16% Mehrwertsteuer und 3% Skonto.
  2. Welchen Einkaufspreis zahlte der Händler für das Gerät, wenn er mit 25% Geschäftskosten und 30% Gewinn kalkuliert?
  3. Um wie viel Prozent hat sich das Gerät vom Einkaufspreis bis zum Barzahlungspreis verteuert?

Lösung

  1. Verkaufspreis + MWSt
    100 % = 1 723,28 €
       1 % = 1 723,28 € : 100 = 17,2328 €
    116 % = 17,2328 € * 116 = 1 999,00 €
    Abzüglich 3 % Skonto
    100 % = 1 999,00 €
      97 % = = 1 999,00 : 100 * 97 = 1 939,03 €
  2. Selbstkosten
    130 % = 1 723,28 €
    100 % = 1 723,28 €: 130 * 100 =1325,60 €
    Einkaufspreis
    125 % = 1 325,60 €
    100 % = 1 325,60 : 125 * 100 = 1 060,48 €
  3. Verteuerung in Euro: 
    1 939,03 - 1060,48 = 878,55 €
    Verteuerung in Prozent
    100 % = 1 060,48 €
       1 % = 1 060,48 € : 100 = 10,6048 €
    878,55 : 10,6048 = 82,84 %

zurück QA 2003: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

qa-2003-IV-3Ein rechteckiges Grundstück ist 60 m lang und 45 m breit. Für den Bau einer Straße wird ein dreieckiges Stück, das 1/5 der gesamten Fläche beträgt, abgetrennt (siehe Skizze).

  1. Die Trennungsstrecke s verläuft vom Eckpunkt B des Grundstücks ABCD zum Punkt P auf der Seite c des Grundstücks.
    Übertrage die Skizze auf dein Blatt und beschrifte sie entsprechend.
  2. Berechne die Fläche des Dreiecks BCP.
  3. Pro m² bekommt der Grundstückseigentümer 60 €. Wie viel erhält er für die Dreieicksfläche?
  4. Entlang der Trennungslinie s wird ein Bauzaun errichtet. Berechne die Länge des Zaunes.

Lösungqa-2003-IV-34b

a) Skizze

b) Fläche des Rechtecks
    ARechteck = a * b
   ARechteck = 60 * 45 = 2700 m²
   Fünftel des Rechtecks = Dreieck BCP
   2700 m² : 5 = 540 m²

c) Entschädigung für das Dreieck
   540 * 60 € = 32 400 €

d) Grundlinie des Dreiecks
   ADreieck = g * h / 2
      540    = g * 45 / 2     | * 2 : 45
 qa-2003-IV-3c     24      = g
     Länge des Zaunes
     Zaun² =   45²  +  24²
     Zaun² = 2025  + 576
     Zaun²  =      2601        | √
     Zaun    =        51 m

 

zurück QA 2003: Aufgabengruppe  IV, Nr. 4

Ein Silberschmied schmilzt 280 g Silber (Dichte: ρ = 10,5 g/cm³), um daraus einen qa-2003 IV-4bRohling für Schlüsselanhänger zu gießen (siehe Skizze; Maße in mm). Wie viele Rohlinge kann er damit gießen?

 

Lösung

Quader oben
V =    A     * hk
V = 10 * 8 * 25 = 2000 mm³


 

qa-2003-IV-4cTrapezsäule in der Mitte
V =         A                  * hk  
   = (  a  +  c ) : 2 *  h  * hk
V = (20 + 10) : 2 * 20 * 8 = 2400 mm³

Dreiecksäule unten
V =         A                  * hk  
   =  g   * h  : 2  * hk
V = 10 * 5  : 2  *  8 = 200 mm³

Volumen eines Rohlings
2000 + 2400 + 200 = 4600 mm³ = 4,6 cm³

Volumen des Silbers
10,5 g = 1 cm³
280 g  = 280 : 10,5 = 26,667 cm³

Anzahl der Rohlinge
4,6 cm³ = 1 Rohling
26,667 cm³ = 26,667 : 4,6 = 5,79 Rohlinge
Er kann 5 Rohlinge gießen.

 

 

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