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Mathe-Quali 2002: Aufgaben mit Lösungen

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zurück 2002 -  Aufgabengruppe I, Nr. 1

 qa-2002-I-1

Lösung

Miit Hauptnenner 6 x multiplizeren
qa-2002-I-1b
    51  +  33 x  -      32   + 5 x = 78    - 21 x
    19  +  38 x                         = 78    - 21 x    |+ 21 x
    19  +  59 x                        =  78                 | - 19
              59 x                        =  59                 | : 59
                  x                         =   1

zurück QA 2002: Aufgabengruppe  I, Nr. 2

  1. Herr Karg hat 352 000 € im Lotto gewonnen. Er leiht davon seinem Freund 60 000 €. Für 225 000 € kauft er sich eine geldEigentumswohnung. Den Rest legt er bei der Bank an.
    1. Sein Freund zahlt ihm bei einem Zinssatz von 3 % 61 400 € zurück. Für wie viele Tage hat er das Geld ausgeliehen?
    2. Die Eigentumswohnung vermietet er für monatlich 495 €. Mit welchem Zinssatz verzinst sich damit der Kaufpreis in einem Jahr?
    3. Die Bank gewährt ihm einen Zinssatz von 4,2 %. Wie viele Zinsen bringt ihm die Bankeinlage nach einem Jahr?

Lösung

  1. ZIns vom Freund
    61 400 € - 60 000 € = 1 400 €
    Zeit
    Z = K * p * t / ( 100 * 360)
    1 400 = 60 000 * 3 * t / 36000
    1 400 =  180 000    * t / 36000
    1400 =         5         * t                 | : 5
      280 =                       t
    Er hat das Geld 280 Tage seinem Freund geliehen.
  2. 12 Monatsmieten
    495 * 12 = 5 940 €
    100 % = 225 000 €
        1 %  =    2 250 €
    5940 : 2 250 = 2,64 %
    Der Kaufpreis der Eigentumswohnugn verzinst sich mit 2,64 %.
  3. Höhe der Bankeinlage
    352 000 € - 60 000 € - 225 000 € = 67 000 €
    100 % = 67 000 €
        1 % =      670 €
      4,2 % =     670 * 4,2 = 2 814 €
    Der Zins für die Bankeinlage beträgt 2 814 €.

zurück QA 2002: Aufgabengruppe I, Nr. 3

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A(-2 | 1) und C(5 | 4) ein.
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Strecke [AC].
  1. Bestimme auf der Mittelsenkrechten durch Konstruktion die Punkte B und D so, dass das Quadrat ABCD entseht. Zeichne das Quadrat und gib die Koordinaten von B und D an.
2002 BI 3a
  • Die Punkte A und C zeichnen und verbinden
  • Teilkreise um A und C mit gleichem Radius zeichnen (rot)
  • Durch diie Schnittpunkte der Teilkreise verläuft die Mittelsenkrechte f (rot)
  • Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten mit der Strecke AB hat die Koordinaten M(1,5 | 2,5).
2002 BI 3b
  • Um den Punkt M einen Kreis mit dem Radkius r=MC cm zeichnen (grün)
  • Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten f sind die Ecken B und D des Quadrtes ABCD.
  • Punkt B hat die Koordinaten B(3 | -1) und Punkt D(0 |6)
  • Die Punkte A, B, C und D zum Quadrat ABCD verbinden
  1. Die Punkte A, B, C und D sollen auch die Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks werden. Konstruiere die fehlenden Eckpunkte und zeichne das Achteck.
  1. Berechne den Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks. Entnimm die dafür notwendigen Maße der Zeichnung.
2002 BI 3c
  • Zu den Quadratseiten AD und CD die Mittelsenkrechten mittels Teilkreisen (lila) konstruieren
  • Die Schnittpinkte der Mittelsenkrechten mit dem Kreis sind die fehlenden Ecken des Achtecks.
2002 BI 3d
  • Das Achteck besteht aus 8 Teildrecken.
  • Ein Teildreieck had die Grundlinie g= 3 cm und die Höhe h=3,5 cm.
    ADreieck =
    1/2 * 3 * 3,5 = 5,25 cm²
    AAchtieck = 8 * 5,25 = 42,0 cm²

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA 2002: Aufgabengruppe  I, Nr. 4

Die Firma Superspound entwickelt eine neue Bassreflex-Standbox (siehe Skizze; Maße in mm).

  1. qa-2002-I-4bDamit der Basslautsprecher seinen Klang voll entfalten kann, soll die Lautspecherbox ein Volumen von 27,6 Liter haben. Wie hoch muss die Box gebaut werden?
  2. Die Box soll außen mit einer Sepzialfolie beklebt werden. Nur die Vorderseite bleibt ausgespart. Berechne die Kosten für diese Folie, wenn 1 m² davon 25,10 € kostet mit mit 7 % verschnitt gerechnet werden muss.

 Lösung

a) Höhe der Box

Höhe h des Trapez
200 - 125 = 75 mm

Boden der Box
ABoden = ARechteck + ATrapez
ABoden = 260 * 125 + (260 + 100) : 2 * 75 =
            =  32 500    +          13500             =
            =            46 000 mm²                     = 4,6 dm²

Höhe der Box
V = A * hk
27,6 dm³ = 4,6 dm² * hk              | : 4,6
     6 dm   =                hk

b) Kosten für die Folie

qa-2002-I-4dFolie für die Außenseiten ohne Front
A = a * b
A = (125 + 110 + 100 + 110 + 125)  * 60 =
   =                   570                           * 60 =
   =                   342000 mm²

Folie für Außenseiten +  Boden  + Deckel
                     34,2 dm²    + 4,6 dm²  + 4,6 dm² = 43,4 dm²

Folie mit Verschnitt
100 % = 43,4 dm²
    1 % = 0,434 dm²
107 % = 0,434 * 107 =46,438 dm" = 0,46438 m²

Kosten für die Folie
1 m² = 25,10 €
0,46438 m² = 25,10 * 0,46438 = 11,66 €

QA 2002: Aufgabengruppe II, Nr. 1 zurück

  1. Die Bundesrepublik Deutschland ließ bis zur Einführung des Euro folgende Münzmengen prägen:
    Münze Stückzahl Dicke in mm Gewicht in g
    1 Cent 2,4 Mrd. 1,67 2,30
    2 Cent 1,1 Mrd. 1,67 3,06
    5 Cent 2,2 Mrd. 1,67 3,92
    10 Cent 2,4 Mrd. 1,93 4,10
    20 Cent 1,1 Mrd. 2,14 5,74
    50 Cent 0,9 Mrd. 2,38 7,80
    1 Euro 1,2 Mrd. 2,33 7,50
    2 Euro Mrd.0,8 2,2 8,50

    1. Wie viele Tonnen Metall wurden für die 1-Euro- und 2-Euro-Münzen insgesamt benötigt?
    2. Wie viele LKW mit der Zuladung von jeweils 25 Tonnen wurden für den Transport dieser 1-Euro- und 2-Euro-Münzen benötigt?
    3. Wie viele Kilometer wäre der Turm hoch, wenn man alle 1-Cent-, 2-Cent- und 5-Cent-Münzen übereinander stapeln könnte?

Lösung

  1. 1 200 000 000 * 7,5 g + 800 000 000 * 8,5 g =
        9 000 000 000 g      + 6 800 000 000 g       =
               9 000 t              +        6 800   t          = 15 800 t
  2. Anzahl der LKW
    1 LKW = 25 t
    15 800 : 25 = 632 LKW
  3. Höhe des Turmes
    (2,4 * 109  + 1,1 * 109  + 2,2 * 109  ) * 1,67 =
                          5,7 * 109  * 1,67                       =
                               9,519 * 109  mm                  =
                               9,519 * 103  km                   = 9 519 km

zurück QA-2002: Aufgabengruppe II, Nr. 2

Marina möchte sich eine Motorroller kaufen, der bei einem Einzelhändler mit 1999 € ausgezeichnet ist.

  1. qa-2007 III-3bDie Mehrwertsteuer beträgt 16 %, für den Gewinn hat der Einzelhändler 20% und für die Unkosten 8% aufgeschlagen. Bestimme seinen Einkaufspreis.
  2. Der Händler gewährt 3,5 % Barzahlungsrabatt. Wie viel muss Marina für den Roller bezahlen?
  3. Für das gleiche Rollermodell bietet ein anderer HändlerMarina einen Ratenkauf an: 800 € Anzahlung und sechs Monatsraten zu jeweils 224 €. Wie viel Euro hat Marina durch die Barzahlung im Vergleich zum Ratenkauf gespart?

 Lösung

  1. Verkaufspreis ohne MWSt
    116 % = 1 999 €
        1 % = 1 999 : 116 = 17,23275862 €
    100 % = 17,23275862 * 100 = 1 723,275862 €
    Selbstkosenpreis
    120 % = 1 723,275862 €
        1 % =  14,36063218 €
    100 % = 1 436,063218 €
    Einkaufspreis
    108 % = 1 436,063218 €
        1 % = 1 436,063518 : 108 = 13,29688164 €
    100 % = 13,29675 * 100 = 1 329,688164 €
    Der Einkaufspreis des Händlers betrug 1 329,688 €
  2. Endpreis bei 3,5 % Rabatt
    100 % = 1 999 €
        1 % =  19,99 €
    96,5 % = 19,99 * 96,5 = 1 929,035 = 1 929,04 €
    Marina mus 1 929,04 € zahlen.
  3. Kosten Ratenkauf: Anzahlung + 6 Monatsraten
    800 € + 6 * 224 € =  2144 €
    Ersparnis
    2144 € - 1929,04 € = 214,96 €
    Marina spart 214,96 €

zurück QA 2002: Aufgabengruppe  II, Nr. 3

Ein Hartholzblock ist 1,20 m hoch und hat eine quadratische Grundfläche (A = 64 dm²). Aus ihm soll eine gerade Pyramide mit derselben Grundfläche und dem größtmöglichen Volumen geschnitten werden.

  1. Erstelle eine Gesamtskizze.
  2. Berechne das Gewicht der Pyramide (Dochte Holz: ρ = 0,82 kg /dm³).
  3. Die Mantelfläche der Pyramide soll geschliffen und poliert werden. Wie teuer kommt dies, wenn ein Quadratmeterpreis von 62 € in Rechnung gestellt wird?

qa-2002-II-3bLösung

Volumen der Pyramide
V = A * hk : 3
V = a * a * hk : 3
a = √64 = 8 dm
V = 8 * 8 * 12 : 3 = 256 dm³

Gewicht der Pyramide
1 dm³ = 0,82 kg
256 dm³ = 256 * 0,82 = 227,4106 kg = 209,92 kg

Mantelfläche
M = 4 * Seitendreick
M = 4 * g *sh /2
Seitenhöhe
sh² = 4² + 12²
sh² = 160              | √
sh  = 12,65 dm  (gerundet)
M = 4 * 8 * 12,65 : 2 = 202,4 dm² = 2,024 m²

Preis fürs Polieren
1 m² = 62 €
2,024 m² = 62 * 2,024 = 125,488 =125, 49 €

zurück QA 2002: Aufgabengruppe II, Nr. 4

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A(1 | 6) und C(8 | 1) ein.
  1. Zeichne die Strecke [AC].
  2. Konstruiere die Mittelsenkrechte f zur Strecke [AC]. Du erhältst den Punkt M, der [AC] halbiert. Wie lauten die Koordinaten von M?
  1. [AC] ist eine Diagonale des Quadrats ABCD. Konstruiere dieses Quadrat und gib die Koordinaten von B und D an.
2002 BII 4a
  • Die Punkte A und C zeichnen und verbinden
  • Teilkreise um A und C mit gleichem Radius zeichnen (rot)
  • Durch diie Schnittpunkte der Teilkreise verläuft die Mittelsenkrechte f (rot)
  • Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten mit der Strecke AB hat die Koordinaten M(4,5 | 3,5).
2002 BII 4b
  • Um den Punkt M einen Kreis mit dem Radkius r=MC cm zeichnen (grün)
  • Die beiden Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten f sind die Ecken B und D des Quadrtes ABCD.
  • Punkt B hat die Koordinaten B(2 | 0) und Punkt D(7 |7)
  • Die Punkte A, B, C und D zum Quadrat ABCD verbinden
  1. Konstruiere zur Strecke [AD] eine Parallele g außerhalb des Quadrates ABCD im Abstand von 2 cm.
  1. Die Geraden f und g schneiden sich im Punkt E; E ist ein Eckpunkt eines neuen, größeren Quadrates, dessen Diagonalen sich ebenfalls im Punkt M schneiden. Konstruiere dieses Quadrat.
2002 BII 4c
  • Die Quadratseiten AD und CD verlängern (blau)
  • Um A und D Teilkreise mit dem Radius r=2cm zeichnen (blau)
  • Die Parallele verläuft durch die Schnittpunkte der Teilkreise mit den verlängerten Quadratseiten
2002 BII 4d
  • Den Schnittpunkt der Parallelen g mit der Mittelsenkrechten e mit E benennen (lila)
  • Einen Kreis um M mit dem Radius r=ME zeichnen (lila)
  • Die Ecken des großen Quadrates sind die Schnittpunkte des Kreises mit den verlängerten Diagonalen des kleinen Quadrates.

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA-2002: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Bildet man die Summe auf dem Drittel, dem Viertel, dem Sechstel und dem aldi-tastenZwölftel einer Zahl, ergibt das genau so viel, wie wenn man vom Doppelten der Zahl das Produkt aus 5 und 1,4 subtrahiert.

Stelle eine Gleichung auf und löse sie.

Lösung

qa-2002-III-1b


    | Hauptnenner ist 12

  

   | + 7


   | - 10/12 x

   | : 14

   | * 12

                                     6  = x

zurück QA 2002 - Teil B: AufgabengruppeIII, Nr. 2

Familie Wiesmayer hat ein Grundstück gekauft und darauf eine Doppelhaushälfte errichtet qa-2002-III-2a(siehe Skizze; Maße in m)

  1. Für 1 m² bezahlte die Familie 296 €. Wie teuer war das Grundstück?
  2. An der Grundstücksgrenze, die in der Skizze stärker hervorgehoben ist, wird ein Maschnedrahtzaun errichtet. Wie lang ist der Zaun?
  3. Die in der Skizze schraffierte Fläche wird gepflastert. Berechne deren Flächeninhalt.
  4. Die grün gemusterte Fläche stellt die Rasenfläche dar. Welchen prozentualen Anteil hat sie an der gesamten Grundstücksfläche?

a) Grundstücksfläche
   A = (g + h) / 2 * h
   A = (34 + 16) / 2 * 28
      =        25         * 28  = 700 m²
   Preis für 700 m²
   296 * 700 = 207 200 €

b) Länge des Zaunes
   Zaun² = 28² + 18²
   Zaun² = 784 + 324 = 1108
   Zaun   = 33,29 m

c) Pflasterfläche
   APflaster = Rechte 1 +  Viertelkreis       + Rechteck 2
   APflaster = 11 * 1,5  + 9 * 9 * 3,14 : 4  + 7 * 10       =
               =    16,5    +      63,585           + 70            = 150,085 m²

d) Rasenfläche
   ARasen = AGrundstück - APflaster - AHaus
   ARasen =    700        -     150   -  (14,5 * 11 + 7*7) =
              =    700        -     150,085   -      208,50          =  341,415 m²
   100 % = 700 m²
       1 % = 700 : 100 = 7 m²
    341,415 : 7 ≈ 48,77 %
Der prozentuale Anteil der Rasenfläche beträgt 48,77 %.

zurück QA-2002: Aufgabengruppe III, Nr. 3

Im Schuljahr 2000/2001 nahmen von den 45 163 bayerischen Hauptschülern der neunten Jahrgangsstufe 38 288 Schüler an der Prüfung zum qualifizierenden Hauptschulabschluss teil.24 578 Schüler legten die Prüfung erfolgreich ab.

  1. Wie viel Prozent der Hauptschüler der 9. Jahrgangsstufe nahmen am "Quali" teil?
  2. Wie viel Prozent der Hauptschüler der 9. Jahrgangsstufe bestanden den "Quali"?
  3. Außerdem bestanden 4 969 externe Teilnehmer den "Quali", was einem Prozentsatz von etwa 59,81 % entspricht. Wie viele Externe nahmen an der Prüfung teil?
  4. Wie viel Prozent aller Teilnehmer bestanden den "Quali"?

Lösung

  1. 100 % = 45 163 Schuler
        1 % = 451,63 Schuler
    38 288 : 451,63 = 84,77 ≈ 84,8 %
    84,8 % nahmen am Quali teil.
  2. 100 % = 45 163 Schuler
        1 % = 451,63 Schuler
    24 578 : 451,63 ≈ 54,42 %
    54,42 % aller Hauptschüler bestanden den Quali.
  3. 59,81 % = 4969 Externe
      1,00 % = 4969 : 59,81 = 83,079 Externe
    100 % = 83,079 * 100 = 8307,9  = 8 308 Externe
    8 308 Externe nahmen am Quali teil.
  4. Teilnehmer insgesamt: Hauptschüler * Externe
    45 163 + 8 308 = 46 569 Tellnehmer
    Prüfung bestandn
    38 288 + 4 969 = 29 547 Teilnehmer
    Prozentsatz aller Teilnehmer mit bestandenem Quali
    100 % = 46 569 Tellnehmer
        1 % = 465,69 Tellnehmer
    29 547 : 465,69 ≈63,41 %
    63,41 % aller Teilnehmer bestanden den Quali.

QA 2002: Aufgabengruppe III, Nr. 4 zurück

Albert besucht seinen Freund Dieter. Er reist mit dem Zug an. Dieter, der 11 km vom Bahnhof entfernt wohnt, will Albert mit dem Auto abholen. Da Albert einen Zug früher als vorgesehen genommen hat, ruft er seinen Freund vom Bahnhof aus an. Um 9:15 Uhr macht er sich auf den Weg und geht Dieter entgegen. Dabei legt er in 10 min 0,5 km  zurück. Dieter bricht um 9:25 Uhr von zu Hause auf und fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 60 km/h.
Löse zeichnerisch:
- Um wie viel Uhr treffen sich die Freunde?
- Wie viele Kilometer hat Albert bis dahin zurückgelegt?
Maßstab: 1 cm -> 5 min
              1 cm -> 1 km

Lösung

qa-2003-III-4b

Die Freunde treffen sich um 9:35 Uhr.
Albert hat bis dahin 1 km zurückgelegt.

zurück 2002 -  Aufgabengruppe IV, Nr. 1

 qa-2002-IV-1

Lösung

Mit Hauptnenner 12 multiplizieren
4 *(2x + 3) - 3 * (3x + 8) = 10 - 24 * (x -1) + 138
    8 x  + 12 -    9 x  - 24   = 10 -   24 x + 24 +138
    - x  - 12                       = 172 - 24 x                    | + 24 x
    23 x - 12                      = 172                             | + 12
    23 x                             = 184                             | : 23
        x                              = 8

QA 2002: Aufgabengruppe IV, Nr. 2 zurück

Ein Industriebetrieb stellt Zubehörteile für Wildwasserkajaks her. Die Arbeitszeit erstreckt sich von 6:00 Uhr bis 13:30 Uhr. In dieser Zeit werden von 20 Maschninen mit jeweils gleicher Fertigungsgeschwindigkeit insgesamt 9000 Teile produziert.
Um 8:45 Uhr fällt eine Maschine für den Rest der Arbeitszeit aus.

    1. Berechne den Produktionsausfall, der durch den Ausfall der defekten Maschine verursacht wurde.
    2. Wie lange müssen die anderen Maschinen nach 13:30 Uhr weiterlaufen, damit der Produktionsausfall ausgeglichen wird?

 Lösung

  1. Arbeitszeit von 6:00 bis 13:30 Uhr
    7 h 30 min = 450 min
    Ausfallzeit einer Maschine
    8:45 Uhr bis 13:30 Uhr = 4 h 45 min = 285 min

    20 Maschinen in 450 min = 9000 Teile 
       1 Maschine  in 450 min = 9000 : 20 = 450 Teile
       1 Maschine  in     1 min = 450 : 450 = 1 Teil
       1 Maschine  in 285 min = 1 * 285 = 285 Teile
    Der Produktionsausfall beträgt 285 Teile.
  2.   1 Maschine   in 1 min = 1 Teil
    19 Maschinen in 1 min = 19 Teile
    19 Maschinen für 285 Teile = 285 : 19 = 15 min
    Die 19 Maschinen müssen 15 Minuten länger laufen.

zurück QA-2002: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

Die folgende Grafik zeigt eine Aufschlüsselung der Internet-Nutzer in Deutschland nach Geschlecht und Alter:

Internetnutzer Deutschlands
qa-2002-IV-3bStand: Sommer 2000 - Quelle: nach Globus

  1. Der Anteil der männlichen Internet-Nutzer ist ein x- Faches des Anteiles der weiblichenNutzer. Bestimme x.
  2. Gib die Anteile der verschiedenen Altersgruppen in Prozent an. Runde auf eine Dezimalstelle.
  3. Erstelle ein Kreisdiagramm (r = 5 cm), das die prozentualen Anteile der verschiedenenAltersgruppen zeigt. Runde auf ganze Grad.

Lösung

  1. Wie viel mal mehr Männer als Frauen
    7,2 * x = 10,8     | : 7,2
             x =   1,5
    Es sind eineinhalb mal mehr Männer als Frauen.
  2. Alle Nutzer:    100 % = 18 Mio.
                              1 % = 0,18 Mio.
    14- bis 19-j.: 2,7 : 0,18 = 15,0 %
    20- bis 29-j.: 4,3 : 0,18 = 23,9 %
    3o- bis 39-j.: 4,3 : 0,18 = 23,9 %
    40- bis 49-j.: 3,4 : 0,18 = 18,9 %
    ab 50 J ahre: 3,3 : 0,18 = 18,3 %
  3. Kreisdiagramm
    qa-2002-IV-3c

zurück QA 2002: Aufgabengruppe  IV, Nr. 4

Eine Firma für Haushaltswaren fertigt einen Fleischhammer. Eine zylinderförmige Ausbohrung auf einer Seite des qa-2002-IV-4cHammerkopfes ist für die Aufnahme des Stiels vorgesehen. Auf den beiden gegenüber liegenden Klopfflächen befinden sich gleiche gerade Pyramiden mit quadratischer Grundfläche und einer Körperhöhe von 3 mm.

  1. Berechne das Volumen des Hammerkopfes.
  2. Berechne die Masse des massiven Hammerkopfes, wenn er aus Buchenholz mit einer Dichte von 0,7 g/cm3 gefertigt wird.
  3. Wie groß ist das Volumen eines gleich schweren Hammerkopfes aus massivem Aluminium (Dichte: 2,7 g/cm3)?

Lösung

a) Volumen des Hammerkopfes

Volumen ohne Klopfflächen und Aussparung für den Stiel
V =  A * hk
V = 49 * 49 * 80 = 192080 mm³

Volumen der Aussparung für den Stil
r = 15 : 2 = 7,5 mm;  hk = 20 mm;
V =               A        * hk
V = 7,5 * 7,5 * 3,14  * 20 =
   =       176,625      * 20 =
   =       3532,5 mm³

Volumen einer Pyramide der Klopfflächen
a = 7 mm; hk = 3 mm;
V =  A   * hk : 3
V = 7 * 7 * 3 : 3 = 49 mm³

Volumen aller Pyramiden auf beiden Klopfflächen
V = 2 * 7 * 7  * 49 = 4802 mm³

Volumen insgesamt
192080 - 3532,5 + 4802 = 193 349,5 mm³ = 193,3495 cm³

b) Masse des Fleischhammers aus Holz

1 cm³ = 0,7 g
193,3495 cm³ = 193,3495 * 0,7 = 135,34465 g

c) Volumen eines gleich schweren Fleischhammers aus Alu

    2,7 g       = 1 cm³
135,34465 g = 135,34465 : 2,7 = 50,128 cm³

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