logo sm

ico teil a  ico teil b   °   gleichung  Sachgleichungen  Prozente   Zinsen   QA-Flächenaufgaben  Körper  Pythagoras anwenden  Zuordnungen  Stoffgebiet Diagramme erstellen  Schaubilder auswerten  Konstruktionen  ° arrow print nathe-qualis


 

Mathe-Quali 2001: Aufgaben mit Lösungen

Wähle eine Aufgabe mit Lösung oder öffne über die Symbole oben eine andere Sortierung.

zurück QA-2001: Aufgabengruppe I, Nr. 1

Stelle folgende Gleichungen auf, ohne sie zu lösen.

  1. Wenn du die Summe aus einer Zahl und 5 verdoppelst und das Ergebnis um 4 verminderst, erhältst zu den vierten Teil der Differenz aus 72 und dem 4-fachen der gesuchten Zahl.
  2. Addiere 9 zum 7-fachen einer Zahl. Wenn du nun die Summe mit 5 multiplizierst und vom Produkt 200 subtrahierst, so erhältst du den Quotienten aus dem 8-fachen der Zahl und 2.

LÖsung

a)   (x + 5) * 2 - 4 = (72 - 4 x ) : 4

Die Lösung zu a) wäre
  2 x + 10  - 4 = 18 - x            | + x
  3 x    +  6    = 18                 | - 6
  3 x              = 12                 | : 3
    x               = 4

b)   (7 x + 9) * 5 - 200 = 8 x : 2

Die Lösung wäre
35 x + 45 - 200 = 4 x             | - 4 x
31 x       - 155  = 0                | + 165
31 x                = 155             | : 31
     x                = 5

zurück QA 2001: Aufgabengruppe  I, Nr. 2

Ein massiver Kegel aus Messing (Dichte: ρ = 8,1 g/cm³)?) wiegt 2 543,4 g. Der Durchmesser der Grundfläche beträgt 10 cm.

  1. Berechne das Volumen des Kegels.
  2. Wie hoch ist der Kegel?
  3. Gib die Mantelfläche des Kegels an.

Lösungqa-2002-I-2b

a) Volumen

1 cm³ =        8,1 g
? cm³ = 2 543,4 g
2 543,4 : 8,1 = 314 cm³

b) Höhe des Kegels

V      =   A  * h   : 3
314  = 5 * 5 * 3,14 * h : 3   | * 3 : 3,14 : 5 : 5
  12  =   h

c) Mantel

M = r * 3,14 * sh
sh² = 5² + 12²
sh² =     169          | √
sh  =      13
M   = 5 * 3,14 * 13 = 204,1 cm²

zurück QA 2001: Aufgabengruppe I, Nr. 3

  1. Ein Schülercafé einer Hauptschule soll in acht Wochen eröffnet werden, wofür 6 Schüler pro Woche jeweils 4 Stunden qa-2001-I-3arbeiten müssen. Nach zwei Wochen fahren 2 dieser Schüler auf Klassenfahrt und fallen für eine Woche aus.
    Wie viele Minuten pro Woche müssen alle Beteiligten nach Ende der Klassenfahrt mehr arbeiten, damit das Schülercafé zum geplanten Termin fertig wird?

Lösung

1 Schüler in 1 Woche:    4 h = 240 min
Ausfall durch Klassenfahrt
2 Schüler in 1 Woche:    240 min * 2 = 480 min
In den letzten 5 Wochen müssen 480 min aufgeholt werden.

6 Schüler müssen in 5 Wochen mehr arbeiten: 480 min
6 Schüler müssen in 1 Woche  mehr arbeiten:  480 : 5 = 96 min
1 Schüler muss     in 1 Woche  mehr arbeiten: 96 : 6 = 16 min

Jeder Schüler muss in den letzten 5 Wochen 16 Minuten pro Woche mehr arbeiten.

zurück QA 2001: Aufgabengruppe  I, Nr. 4

Lösung

  1. Erstelle ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm), dessen Nullpunkt ungefähr in der Mitte eines unbeschriebenen Blattes liegt.
    Zeichne die Punkte A (1 | -2) und C (-3 | 6) ein. Die beiden Punkte sind die Eckpunkte des Vierecks ABCD.
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte f zu [AC].
    Bezeichne den Schnittpunkt von [AC] und f mit M.
  1. Zeichne einen Kreis um C durch den Punkt S (-0,5 | 1).
2001 B1 4a
  • Die Punkte A und C zeichnen und verbinden
  • Teilkreise um A und C mit gleichem Radius zeichnen (rot)
  • Durch die Schnittpunkt der Teilkreise verläuft die Mittelsenkrechte f
  • Der Schnittpunkt von f mit der Strecke AC hat die Koordinaten M(-1 | 2)
2001 B1 4b
  • Den Punkt S einzeichnen (blau)
  • Um C einen Kreis mit dem Radius CS zeichnen (blau)
  1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden f sind die fehlenden Eckpunkte B und D des Vierecks. Gib ihre Koordinaten an und verbinde die Punkte A, B, C und D zum Viereck.
  1. Konstruiere den Punkt N so, dass das Rechteck MBNC entsteht. Gib die Koordinaten von N an.
2001 B1 4c
  • Die Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten mit B und D benennen
  • Die Koordinaten: B(2 | 3,5) und D(-4 | 0,5)
  • Die Punkte A, B, C und D zum Viereck ABCD verbinden (blau)
2001 B1 4d
  • Um B einen Teilkreis mit Radiuus r=MC zeichnen (grün)
  • Um C einen Teilkreis mit Radiuus r=MB zeichnen (grün)
  • Der Schnittpunkt der Teilkreise ist der Punkt D des Rechtecks MBNC. Er hat die Koordinaten M(0 | 7,5)

Angaben ohne Gewähr

 

zurück 2001 -  Aufgabengruppe II, Nr. 1

 qa-2001-II-1

Lösung

Mit Hauptnenner 60 multiplizieren
5 * (2 - 7x) -14 + 17x = 12 * (2 - 3x) - 40 * (x - 1) - 10
  10  - 35 x - 14 + 17 x =     24   - 36x -   40 x + 40 - 10
  - 4 - 18 x                  =      54   - 76 x                            | + 76 x
  - 4 +58 x                  =      54                                        | + 4
         58 x                   =     58                                        | : 58
             x                    =       1

zurück QA 2001: Aufgabengruppe II, Nr. 2

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) die Punkte A (2 | 3,5) und B (7 | 3,5) ein.
  1. Konstruiere das gleichseitige Dreieck ABC.
  1. Konstruiere einen Halbkreis über der Strecke [AC].
2001 BI 2a
  • Die Punkte A und B zeichnen und verbinden
  • Teilkreise um A und C mit Radius r = !B zeichnen (rot)
  • Der Schnittpunkt der Teilkreise ist die Ecke C (rot)
  • Die Punkte A, B und C zum Dreieck ABC verbinden.
2001 BI 2b
  • Um die Punkte A und B Teilkreis schlagen (blau)
  • Durch die beiden Schnittpunkte der Teilkreise verläuft die Mittelsenkrechte zur Strecke AB, die diese halbiert (blau)
  • Um den Mittelpunkt M einen Halbkreis mit dem Radius r= MB zeichnen (blau)
  1. Die Strecke [AB] ist die Diagonale des Quadrates ADBE. Konstruiere das Quadrat.
  2. Gib die Koordinaten der Punkte D und E an.
  1. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates ADBE. Die Länge der Strecke [AB] kann der Zeichnung entnommen werden.
2001 BI 2c
  • Um den Mittelpunkt M einen Kreis mit r = MB zeichnen (grün)
  • Die Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten sind die Ecken D und E des Quadrates ADBE (grün)
  • Koordinaten von D(4,5 | 1) und E(4,5 | 6)
2001 BI 2d
  • Die Diagonale des Quadrates hat eine Länge von 5 cm. Sie ist die Grundlinie rote Teildreicks.
  • Höhe des roten Teildreicks: 5 cm : 2 = 2,5 cm
    ADreieck = 1/2 * 5 * 2,5 = 6,25 cm²
  • Fläche des Quadrates
    AQuadrat = 2 * 6,25 cm² = 12,5 cm²
  1. Zeige mithilfe einer Rechnung, dass der Flächeninhalt des Halbkreises über [AC] kleiner ist als der Flächeninhalt des Quadrates
2001 BI 2e
  • Der Kreis hat einen Radius r = 2,5 cm
  • Fläche des Kreises
    AKreis = 3,14 * r²
    AKreis = 3,14 * 2,5²= 19,625 cm²
  • Fläche des Halbkreises
    19,625 : 2 = 9,8125 cm²

Der Halbkreis ist mit 9,8125 cm² kleiner als das 12,5 cm² große Quadrat.

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA 2001: Aufgabengruppe II, Nr. 3

  1. Ein Geschäftsmann hat eine Rechnung über 11 100 DM nicht rechtzeitig bezahlt. Bei einem Zinssatz von 12 % muss er deshalb 296 DM Verzugszinsen zahlen.
    1. Um wie viele Tage wurde der Zahlungstermin überschritten?
    2. Hätte der Geschäftsmann innerhalb von 30 Tagen gezahlt, hätte er vom Rechnungsbetrat 3 % Skonto abziehen dürfen. Wie viel Geld hätte er dann im Vergleich zur verspäteten Bezahlung gespart?

Lösung

  1. Z = K * p * t / (100 * 360)
    296 = 11 100 * 12 * t / 36000
    296 = 111 * 12 * t / 360
    296 = 111 * t / 30                          | * 30 : 111
      80 =           t
    Der Zahlungstermin wurde um 80 Tage überschritten.
  2. Betrag abzüglich Skonto: 97 % von 11 100 DM
    100 % = 11 100 DM
         1 % = 11 100 : 100 = 111 DM
       97 % = 111 * 97 = 10 767 DM
    Ersparnis
    11 100 + 296 - 10 767 = 629 DM
    Er hätte 629 DM sparen können.

zurück qa-2001-II-4bQA 2001: Aufgabengruppe  II, Nr. 4

Bei Ausgrabungsarbeiten wurde eine Granitsäule von 2,6 m Länge gefunden, deren Querschnitt sich aus einem regelmäßigen Fünfeck und fünf Halbkreisen zusammensetzt (siehe Skizze).

  1. Berechne das Volumen der Säule.
  2. Kann ein Flaschenzug, der mit höchsens drei Tonnen belastet werden darf, die Säule heben (Dichte Granit: ρ = 2,6 g/cm³)?

Lösung

a) Volumen der 5 Halbkreissäulen

r  = 40 : 2 = 20 cm
h = 2,6 m = 260 cm
V = 5 *         A            * hk   : 2
V = 5 * 20 * 20 * 3,14 * 260  : 2 =
   = 5 *        1 256        * 260 : 2 =
   = 5 *           326 560           : 2 = 816 400 cm³

Volumen des fünfeckigen Säulenkerns
V =          A     *  hk
V = 5 *  g * h / 2 * hk
V = 5 * 40 * 27,5 / 2 * 260 =
   = 5 *     550          * 260 =
   =           2750        * 260 = 715 000 cm³

Gesamtvolumen
816 400 + 715 000 = 1 531 400 cm³

b) Gewicht der Säule

1 cm³ = 2,6 g
1 531 400 cm³ = 1 531 400 * 2,6 = 3 981 640 g = 3,98 t

Der Flaschenzug kann die Säule nicht heben.

zurück QA-2001: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Bei einer Geschwindigkeitsmessung vor einer Schule fuhren ein Viertel der qa.2001-III-1Autos bis zu 10 km/h schneller als zugelassen, ein Sechstel überschritt die Höchstgeschwindigkeit um mehr als 10 km/h (aber höchstens 30 km/h). Weitere 8 Autofahrer wurden wegen erheblicher Geschwindigkeitsübertretung von mehr als 30 km/h zur Anzeige gebracht. 384 Fahrzeuge überschritten die zulässige Geschwindigkeit nicht.

Bei wie vielen Fahrzeugen wurde an diesem Tag die Geschwindigkeit gemessen? Löse mithilfe einer Gleichung.

Lösung

qa-2001-III-1b

1 / 4 a   + 1 / 6 a   + 8 + 384 = a
6 / 24 a + 4 / 24 a   + 392     = a
10 / 24 a                + 392     = a                | - 10 / 24 a
                               392      = 14 / 24 a     | : 14
                                 28      =   1 / 24 a    | * 24
                               672      =            a

Die Geschwindigkeit wurde bei 672 Fahrzeugen gemessen.

 

zurück qa-2001-III-2bQA 2001: Aufgabengruppe  III, Nr. 2

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Körpers.

Lösung

Mantel des Zylinders
M =    U         * hk
M =  d * 3,14 * hk
M = 30 * 3,14 * 75 = 7 065 mm²

 

qa-2001-III-2c

Schräge des Sockels
a = (155 - 95) : 2 = 30
b = 40
s² = 30² + 40²
s² = 900 + 1600
s² =     2500            | √
s  =        50

Mantel des Sockels
M =           U                    * hk
M = (155 + 50 + 95 + 50) * 30 =
   =           350                  * 30 = 10 500 mm²

Trapezflächen
A = 2 *  (155 + 95) : 2 * 40 =
   = 2 *          5 000           = 10 000 mm²  

Oberfläche
7 065 + 10 500 + 10 000 = 27 565 mm²

zurück QA 2001: Aufgabengruppe III, Nr. 3

 Ein Bio-Landwirt lagert im Herbst 1,2 t Birnen ein. Seine Selbstkosten setzt er mit 640 € an. Während der Lagerung entsteht ein Gewichtsverlust von 18%. Der Landwirt möchte die gesamte Ware mit einem Gewinn von 32% verkaufen.

    1. Berechne das Gewicht der zum Verkauf kommenden Birnen.
    2. Ermittle den Verkaufspreis.
    3. Stelle den Gewinn in € fest.
    4. Bestimme den Endpreis pro kg (die MwSt. beträgt 8%). Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
    5. Wie hoch wäre sein prozentualer Gewinn gewesen, wenn er das Obst unmittelbar nach der Ernte bei 520 € Selbstkosten und 752 € Gesamtverkaufspreis verkauft hätte? Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.

Lösung

  1. Gewicht beim Verkauf bei 18 % Gewichtsverlust
    100 % = 1,2 t
        1 % = 0,012 t
      82 % = 0,012 t * 82 = 0,984 t
  2. Verkaufspreis bei 32 % Gewinn
    100 % = 640 €
        1 % = 6,40 €
    132 % = 6,40 € * 132 = 844,8 €
  3. Gewinn in Euro
    844,80 € - 640 € = 204,80 €
  4. Verkauf in kg
    0,984 t = 984 kg
    Endpreis für 984 kg bei 8 % MWSt
    100 % = 844,80 €
        1 % = 8,448 €
    108 % = 8,448 € * 108 = 912,384 €
    Endpreis für 1 kg
    984 kg = 912,384 €
        1 kg = 912,384 € : 984 = 0,927 € = 0,93 €
  5. Gewinn in DM
    752 dm - 520 DM = 232 DM
    Gewinn in Prozent
    100 % = 520 DM
        1 % = 5,20 DM
    232 DM : 5,2 DM = 44,62 %

zurück QA-2001: Aufgabengruppe III, Nr. 4

Diese Diagramme veranschaulichen, woraus Strom gewonnen wurde:

qa.2001-III-3b

Energieträger 1991 in Mrd. kWh 1999 in Mrd. kWh
Kernenergie 147,2562 169,6175
Steinkohle 149,9532 144,2025
Braunkohle 158,0442 134,8100
Erdgas 36,1398 53,5925
Wasserkraft 18,3396 23,7575
Heizöl 13,4850 4,4200
Sonstige 15,6426 22,6525

    1. Verfollständige die Tabelle
    2. Gib für Braunkohle und Heizöl an, um wie viel Prozent die produzierten kWh des Jahres 1999 gegenüber 1991 zu- oder abgenommen haben. Rund die Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
    3. gramm für 1991 und 1999 gegenüber, wie sich der Bereich „Sonstige" (wie Solar-, Wind-, Biogasenergie) entwickelt hat. Verwende als Maßstab 1 cm => 2 Mrd. kWh.

Lösungen

  1. Erdgas 1991 in Mrd. kWh
    100 % = 539,4 Mrd. kWh
        1 % =     5,394 Mrd. kWh
      6,7 % =    5,394 * 6,7 = 36,1398 Mrd. kWh
    Kernenergie 1999 in Mrd. kWh
    100 % = 552,5 Mrd. kWh
        1 % =     5,525 Mrd. kWh
    30,7 % =    5,525 * 30,7 = 169,6175 Mrd. kWh
  2. Abnahme der Braunkohle in Mrd. kWh
    158,0442 - 134,8100 = 23,2342 Mrd. kWh
    Abnahme in Prozent
    100 % = 158,0422 Mrd. kWh
        1 % = 1,580422 Mrd. kWh
    23,2342 : 1,580422=14,70 %
    Abnahme der Heizöl in Mrd. kWh
    13,4850 - 4,4200 = 9,065 Mrd. kWh
    Abnahme in Prozent
    100 % = 13,4850 Mrd. kWh
        1 % = 0,134850 Mrd. kWh
      9,065: 10,134850 =67,22 %
  3. Diagramm Streifenlänge
    Sonstige 1991: 15,6426 Mrd. kWh : 2 Mrd. kWH ->   7,8 cm
    Sonstige 1999: 22,6525 Mrd. kWh : 2 Mrd. kWH -> 11,3 cm
    qa.2001-III-3c

zurück 2001 -  Aufgabengruppe IV, Nr. 1

 qa-2001-IV-1

Lösung

Mit Hauptnenner 30 multiplizieren
30 * 1,5 x + 10 * 2 * (2,5x - 4,5) - 6 * 2 * (6x + 11) - 15 * (x - 4) = 0
     45 x     +    20  *  (2,5x - 4,5) -   12   * (6x - 11) -    15 x + 60 = 0
     45 x      +           50 x  -  90   -         72 x - 132  -    15 x + 60 = 0
       8 x      -  72 = 0              | + 72
       8 x             = 72             | : 8
         x              =  9

zurück QA 2001: Aufgabengruppe  IV, Nr. 2

Eine Firma gießt Maschinenteile aus Stahl. Diese haben die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche, aus dem zwei gleich qa-2001-IV-2bgroße quadratische Pyramiden ausgespart werden (siehe Skizze; Maße in mm).

  1. Wie viel Gramm Stahl (Dichte Stahl: ρ = 7,4 g/cm³) werden für die Herstellung eines Teils benötigt?
  2. Berechne die Oberfläche eines Maschinenteils.

Lösung

Volumen des Werkstückes
VWerkstück = VQuader   - 2 * VPyramide
VWerkstück =   A * hk    -  2 * A* hk : 3
VWerkstück = 9 * 9 * 30 - 2 * 9 * 9 * 10 : 3 =
                  =    2430   -        540          =
                  =             1890 mm³           =
                  =              1,89 cm³

Gewicht des Werkstückes
1 cm³      = 7,4 g
1,89 cm³ = 7,4 * 1,89 = 13,986 g

qa-2001-IV-2cOberfläche
O = Mantel des Quaders + 2 * 4 Seitendreiecke der ausgefrästen Pyramiden
Mantel des Quaders
M = Umfang * hk
M =   4 * 9    * 30 = 1080 mm²
Seitenhöhe eines Dreiecks
sh² = 4,5² + 10²
sh² = 20,25 + 100
sh² =   120,25         | √
sh   = 10,965 ≈ 11 mm
8 Seitendreiecke
8 * 9 * 11 : 2 = 394,92 mm²
Oberfläche des Werkstücks
1080 + 396 = 1476 mm²

zurück QA 2001: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

Die Diskothek "Blue Star" soll gegen Brand- und Sturmschäden versichert werden. Drei Versicherungen legen ihre Komplett-Angebote vor, die beide Schadensarten umfassen.

    1. Versicherung A berechnet eine monatliche Prämie von 262,50 DM bei einem jährlichen Promillesatz von 2,1 Promille. Wie hoch ist die Versicherungssumme?
    2. Versicherung B bietet eine Versicherungssumme von 1,7 Mio. DM an bei einer vierteljährlichen Prämie von 807,50 DM. Berechne den jährlichen Promillesatz.
    3. Die Versicherungssumme bei Versicherung C beträgt 1,9 Mio. DM. Die Jahresprämie für die Brandversicherung allein entspricht 1,2 Promille der Versicherung. Die Jahresprämie insgesamt beträgt 3705 DM.
      Berechne den jährlichen Promillesatz für die Sturmversicherung.

Lösung

  1. Jahresprämie bei Versicherung A
      1 Monat:   262,50 DM
    12 Monate: 262,50 DM * 12 = 3 150 DM
    Versicherungssume
    2,1 ‰ = 3 150 DM
    1 ‰    = 3 150 DM : 2,1 = 1 500 DM
    1000 ‰ = 1 500 DM * 1000 = 1 500 000 DM
  2. Jahresprämie bei Versicherung B
      3 Monate = 807,50 DM
    12 Monate = 807,50 DM * 4 = 3 230 DM
    Promillesatz
    1000 ‰ = 1 700 000 DM
          1 ‰ = 1 700 000 DM : 1000 = 1 700 DM
    3 230 DM : 1 700 DM = 1,9 ‰
  3. Brandversicherung bei Versicherung C
    1000 ‰ = 1 900 000 DM
          1 ‰ = 1 900 DM
        1,2 ‰ = 1 900 DM * 1,2 =2 280 DM
    Sturmversicherung bei Versicherung C
    3 705 DM - 2 280 DM = 1 425 DM
    Promillesatz der Sturmversicherung
    1000 ‰ = 1 900 000 DM
          1 ‰ = 1 900 DM
    1 425 DM : 1 900 DM = 0,75 ‰

zurück QA 2001: Aufgabengruppe IV, Nr. 4

Alle bekannten Stoffe sind aus einzelnen Atomen aufgebaut. Die Stoffe unterscheiden sich nur durch die unterschiedliche Anzahl der Kernteilchen. Der Kern ist aus elektrisch positiven Protonen (Masse ca. 1,673 * 10-24 g) und etwa gleich schweren Neutronen aufgebaut.

    1. Berechne die Masse eines Elektrons. Es wiegt den 1836 Teil eines Protons.
    2. Der Kern eines Uran-Atoms besteht aus 92 Protonen und 146 Neutronen. Berechne die Masse des Atomkerns.

Lösung

  1. Masse eines Elektrons
        1,673 * 10-24 g : 1836      = 
    = 0,091122.. * 10-24 g =
    = 9,1122.. * 10-26 g
  2. Masse des Atomkerns
    92 Protonen + 146 Neutronen = 238 Kernteilchen

        1 Kernteilchen: 1,673 * 10-24 g
    238 Kernteilchen: 1,673 * 10-24 g * 238 = 398,174 * 10-24 g = 3,98174 * 10-22 g
Zum Seitenanfang