logo sm

ico teil a  ico teil b   °   gleichung  Sachgleichungen  Prozente   Zinsen   QA-Flächenaufgaben  Körper  Pythagoras anwenden  Zuordnungen  Stoffgebiet Diagramme erstellen  Schaubilder auswerten  Konstruktionen  ° arrow print nathe-qualis


 

Mathe-Quali 2000: Aufgaben mit Lösungen

Wähle eine Aufgabe mit Lösung oder öffne über die Symbole oben eine andere Sortierung.

zurück 2000 -  Aufgabengruppe I, Nr. 1

 qa-2000-I-1

Lösung

Mit dem Hauptnenner 12 multiplizieren
8 * (7 x - 6) - 2 * (5x - 25) = 36 - 9 * (9x+30) + 6 * (x-1)
    56 x - 48  -    10 x + 50  = 36 -   81 x - 270 +  6 x - 6
    46 x  + 2                       = - 75 x - 240                         | + 75 x
   121 x + 2                       =           - 240                         | - 2
   121 x                             =           - 242                         | : 121
         x                             =            - 2

zurück QA 2000: Aufgabengruppe I, Nr. 2

Für einen Schlüsselanhänger werden aus einer kreisrunden Silberscheibe (Dicke 3 mm) qa-2000-I-2ein Loch zum Aufhängen und ein herzförmiges Ornament ausgestanzt (siehe Skizze; Maße in mm).
Wie schwer ist der Anhänger, wenn die Dichte der Silberlegierung 10,5 g/cm³ beträgt.

Lösung

V ganze Scheibe
  V =            A          * hk
  V = 20 * 20 * 3,14 * 3 =
     =      125,6          * 3 =  3768 mm³

qa-2000-I-2cV kleine Kreissäule
   V = r * r * 3,14   * hk
  
V = 2 * 2 * 3,14  * 3 = 37,68 mm³

 

V zwei Halbkreissäulen
   V = r * r * 3,14   * hk
   V = 7 * 7 * 3,14  * 3 = 461,58 mm³

V Dreiecksäule
  V =   g  * h  / 2  * hk
  V =  28 * 12 / 2 * 3 = 504 mm³

 

V Anhänger

  3768 - 504 - 461,58 - 37,68 = 2 764,74 mm³  = 2,76474 cm³

Gewicht
  1 cm³ = 10,5 g
   2,76474 cm³ = 10,5 g * 2,76474 = 29,02977g

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  I, Nr. 3

Herr und Frau Schuster planen mit ihren Kindern(Anna: 7 Jahre, Thomas: 13 Jahre) den Sommerurlaub. Beim Veranstalter A kostet die Pauschalreise insgesamt 6120 DM. Jedes Kind zahlt dabei 30 % weniger als ein Erwachsener.
Der Veranstalter B bietet die Reise mit einer 55%igen Ermäßigung vom vollen Preis für Kinder unter 12 Jahren an. Anna würde demnach 742,50 DM zahlen. Für Thomas gibt es keine Ermäßigung.

    1. Wie viel zahlt jedes Familienmitglied beim Veranstalter A?
    2. Wie viel zahlt die Familie insgesamt beim Veranstalter B?
    3. Um wie viel Prozent reist Familie Schuster mit dem Veranstalter B günstiger?

Lösung

  1. Veranstalter A
    Prozentsatz der ganzen Familie: 2 Erwachsene + 2 Kinder

    2 * 100 % * 2 * 70 % = 340 %
    340 % = 6 120 DM
        1 % = 6 120 DM : 340 = 18 DM
    Erwachsener (Vater, Mutter)
    100 % = 18 DM * 100 = 1 800 DM
    Kind (Anna, Thomas)
      70 % = 18 DM + 70 = 1 260 DM
  2. Veranstalter B: Anna zahlt 55 % weniger, also 45 %
    Voller Preis
      45 % = 742,50 DM
        1 % = 742,50 DM : 45 = 16,50 DM
    100 % = 16,50 DM * 100 = 1 650 DM
    Dreimal voller Preis + Anna
    3 * 1650 DM + 742,50 DM = 5 692,50 DM
  3. Preisunterschied in DM
    6 120 DM - 5 692,50 DM = 427,50 DM
    Preisunterschied in Prozent
    100 % = 6 120 DM
        1 % = 6 120 DM : 100 = 61,20 DM
    427,50 DM : 61,20 DM = 6,99 %

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  I, Nr. 4

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte B (1,5 | −1) und D (−5 | 3,5) ein.
  1. Trage in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) die Punkte A (1 | 6), B (8 | 13) und C (6,5 | 0,5) ein.
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und die Winkelhalbierende des Winkels CAB.
  2. Bezeichne den Schnittpunkt der in Aufgabe a konstruierten Linien mit M. Gib die Koordinaten vonn M an.

2000 BI 4a

2000 BI 4b

  1. Konstruiere von M das Lot auf die Strecke [AC]. Bezeichne den Fußpunkt des Lotes mit E.
  1. M ist der Mittelpunkt und E ein Eckpunkt eines regelmäßigen Sechsecks. Konstruiere dieses Sechseck.

2000 BI 4c

2000 BI 4d

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA-2000: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Ein Tanklastzug wurde in einen Unfall verwickelt und der Tank beschädigt. qa.2000-II-1Dabei liefen 2 / 5 des Inhalts aus. Der Rest wurde von der Feuerwehr in andere Behälter umgefüllt, wobei 1 / 7 des Gesamtinhalts nicht ausgepumpt werden konnte. 63 Liter gingen außerdem während des Umfüllvorgangs verloren, so dass die Feuerwehr schließlich noch 12737 Liter abtransportieren konnte.

a) Wie viele Liter waren vor dem Unfall im Tank? Löse mit Hilfe einer Gleichung.
b) Wie viele Liter verblieben im Tank?

Lösung

 qa-2000 II-1b
        2 / 5 tank                        +                   12737                   + 1 / 7 tank  + 63 = tank
       14 / 35 tank                     +                    12737                  + 5 / 35 tank + 63 = tank
       19 / 35 tank  + 12 800  = tank                   | - 19 /35 tank
                              12 800  = 16 / 35 tank       | : 16
                                  800  =   1 / 35 tank        | * 35                             
                              28 000  =            tank
a) Vor dem Unfall waren 28 000 l im Tank.
b) Im Tank verblieben 28 000 l : 7 = 4 000 l.

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  II, Nr. 2

Josefine bekommt von ihrer Kraftfahrzeug-Haftpflichtversicherung die Mitteilung über die zu bezahlende Prämie. Bisher zahlte sie 551,00 DM pro Jahr. Nach einem Jahr unfallfreien Fahrens wird ihr Beitragssatz auf 70 % des vorherigen Beitrages festgesetzt.

    1. Wie  hoch wäre die zu zahlende Prämie?
    2. Gleichzeitig wird ihr in der Rechnung mitgeteilt, dass eine allgemeine Tarifänderung notwendig sei und sie deshalb jetzt einen Beitrag von 526,40 DM zu überweisen habe.
      Wie viel müsste Josefine bei dem erhöhten neuen Beitragssatz zahlen, wenn sie keinen Nachlass für unfallfreies Fahren erhalten würde?
    3. Wie hoch ist die prozentuale Beitragserhöhung bezogen auf den bisherigen Versicherungsbeitrag von 551,00 DM?

Lösung

  1. Neue Prämie nach einem unfallfreien Jahr
    100 % = 551,00 DM
       70 % = 551,00 DM : 100 * 70 = 357,00 DM
  2. Erhöhter Beitrag ohne Nachlass
     70 % = 526,40 DM
        1 % = 526,40 DM : 70 = 7,52 DM
    100 % = 7,52 DM * 100 = 752 DM
  3. Beitragserhöhung in DM
    752,00 DM - 551,00 DM = 201,00 DM
    Betragserhöhung in Prozent
    100 % = 551,00 DM
        1 % = 5,51 DM
    201,00 : 5,51 = 36,48 %

zurück QA 2000: Aufgabengruppe II, Nr. 3

In einem quaderförmigen Raum ist ein Dreieck aufgespannt (siehe Skizze

qa-2000-II-3

; Maße in m).

Berechne die Fläche des Dreiecks und runde das Endergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

Die Grundlinie des Dreiecks misst 28 m. Die Höhe lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

h² = 21² + 26²
h² = 441 + 676
h² =    1117          | √
h  = 33,42

ADreieck = g * h / 2qa-2000-II-3b
ADreieck = 28 * 33,42 / 2 = 467,88 m²

 

zurück QA 2000: Aufgabengruppe II, Nr. 4

  1. Zwei Familien reisen von ihrem Heimatdorf aus an einen 450 km entfernten gemeinsamen Urlaubsort. Familie 1 startet um 8:00 Uhr und kann mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 75 km/h bis zum Zielort durchfahren.
    Familie 2 fährt um 9:00 Uhr von zu Hause ab und legt in der Stunde durschnittlich 90 km/h zurück, bis ein Stau die Fahrt für 15 Minuten stoppt. Jetzt sind es noch 250 km bis zum gemeinsamen Ziel.
    1. Mit welcher Durschnittsgeschwindigkeit muss Familie 2 weiterfahren, um gleichzeitig mit Familie 1 am Urlaubsort einzutreffen?
    2. Um wie viel Uhr treffen die beiden Familien am Urlaubsort ein?

Ermittle die Geschwindigkeit und die Treffzeit aus der zeichnerischen Lösung der Aufgabe.
Maßstab: 2 cm -> 1 h
              2 cm -> 100 km

Lösung
a) Familie 2 muss mit 100 km/h weiterfahren.
b) Beide Familien treffen dann um 14 Uhr am Ziel ein.

qa.2000-II-4b

zurück QA-2000: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl die Differenz aus der Zahl und 4, aldi-tastenso erhält man die doppelte Summe aus der Zahl und 16.

 Löse mithilfe einer Gleichung. 


Fünffache einer Zahl:                            5 x
Differenz aus der Zahl und 4:                 x - 4
Doppelte Summe aus der Zahl und 16:   2 * (x + 16)

5 x - (x - 4) = 2 * (x + 16)
5 x - x + 4  = 2 x + 32
4 x      + 4  = 2 x + 32    | - 2 x
2 x      + 4 =       + 32   | . 4
2 x           =        + 28   | : 2
  x            =        + 14

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  III, Nr. 2

Lösung

 
  1. Zeichne in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) die Gerade g durch die Punkte A (2 | 4) und S (14 | 8).
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte m zur Strecke [AS] und benenne den Schnittpunkt von m und g mit M
  1. Ergänze die Strecke [AM] zum rechtwinkligen Dreieck AMD mit MD = 5 cm und der Strecke [AD] als Hypotenuse.
2000 BIII 2a
  • Die Punkte A (2 | 4) und S (14 | 8)
  • Zwei Teilkreise um A und B mit gleichem Radius (rot)
  • Die Mittelsenkrechte verläuft durch die Schnittpunkte der Teilkreise.
2000 BIII 2b
  • Teilkreis um M mit dem Radius MD = 5 cm
  • Schnittpunkt des Teilkreises mit der Mittelsenkrechten ist Punkt D.
  • Rechtwinkiges Dreieck mit AD als Hypothenuse
  1. Spiegle D an G und nenne den Spiegelpunkt B. Verbinde B mit S und A.
  1. Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels SBM. Sie schneidet g im Punkt C. Verbinde C mit D. Welche besondere Form hat das Viereck ABCD?
2000 BIII 2c
  • Teilkreis um M mit dem Radius MD = 5 cm
  • Schnitt des Teilkreises mit der Mittelsenkrechten ist Spiegelpunkt B.
2000 BIII 2d
  • Teilkreis um B, so dass dieser die Mittelsenkrechte und BS schneidet.
  • Zwei weitere Teilkreise umd die beiden Schnittpunkte
  • Winkelhalbierende von B durch deren Schnittpunkt zeichnen

2000 BIII 2e

  • Das Dreieck ABCD ist ein Drachenviereck, da die beiden aneinenanderliegenden Seiten jeweils gleich lang sind und die Gerade g die Symetrieachse ist.

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  III, Nr. 3

Herr Schneider möchte für seinen Handwerksbetrieb eine Haftpflichtversicherung abschließen. Die Versicherungssumme soll 450 000 DM betragen. Er vergleicht die Angebote zweier Versicherungen.

    1. Versicherung A berechnet als Jahresprämie einen Promillesatz von 2,96 Promille der Versicherungssumme. Dazu kommt die jährliche Versicherungssteuer von 199,80 DM. Berechne die Jahresprämie und den jährlichen Gesamtbetrag.
    2. Versicherung B erhebt vierteljährlich einen Gesamtbetrag von 362,25 DM. Darin sind 47,25 DM Versicherungssteuer enthalten. Berechne den jährlichen Gesamtbetrag und den Promillesatz, der für die Jahresprämie veranschlagt wird.
    3. Herr Schneider entscheidet sich für Versicherung B. Nach fünf Jahren hat er einen Haftpflichtschaden und erhält von der Versicherung 27 000 DM. Berechne den Gesamtbetrag, den Herr Schneider in fünf Jahren an die Versicherung überwiesen hat und gib an, wie viel Prozent der Entschädigung das sind.

Lösung

  1. Versicherung A
    Jahresprämie

    1 000 ‰= 450 000 DM       1 ‰ = 450 000 DM : 1000 = 450 DM

       2,96 ‰ = 450 DM * 2,96 = 1 332 DM
    Prämie + Versicherungssteuer im Jahr
    1 332 DM + 199,80 DM = 1 531,80 DM
  2. Vierteljährliche Prämie ohne Steuer bei Versicherung B
    362,25 DM - 47,25 DM = 315,00 DM
    Jahresprämie ohne Steuer
      3 Monate = 315,00 DM
    12 Monate = 315,00 DM DM * 4 = 1260 DM
    Promillesatz bei Versicherung B
    1 000 ‰ = 450 000 DM
           1 ‰ = 450 000 DM : 1000 = 450 DM
    1260 DM : 450 DM = 2,80 ‰
    Der Jahresprämie bei Versichrung B ist 1 260 DM und der Promillesatz 2,80 ‰.
  3. In 5 Jahren an Versicherung B überwiesen
    3 Monate = 362,25 DM
    1 Jahr      = 362,25 DM * 4 = 1 449,00 DM
    5 Jahre    = 1 449,00 DM * 5 = 7 245,00 DM
    Wie viel Prozent des Schadens hat er überwiesen?
    100 % = 28 000 DM
        1 % = 28 000 DM : 100 = 280 DM
    7 245,00 DM : 280 DM = 25,875 %
    Von den 28 000 DM, die Herr Schneider von der Versicherung bekommt, hat er nur 25,875 % in den 5 Jahren bezahlt.
 

zurück qa-2000-III-4bQA 2000: Aufgabengruppe  III, Nr. 4

Ein massiv aus Stahl gefertigtes Werkstück besteht aus einer quaderförmigen Grundplatte mit einem Aufsatz, der die Form einer quadratischen Pyramide hat (siehe Skizze). Die Bodenplatte ist an vier Stellen durchbohrt. Der Durchmesser der Bohrlöcher beträgt 0,8 cm.

  1. Berechne das Volumen des Werkstücks.
  2. Berechne die Masse des Werkstücks (Dichte Stahl: 7,9 g/cm3)

Hinweis: Runde alle Teilergebnisse auf eine Dezimalstelle.

Lösung

a) Volumen des Werkstücks

qa-2000-III-4cVolumen des Sockels ohne Bohrungen
V =      A * hk
V =  8 * 6 * 1,5 = 72 cm³

Volumen der 4 Bohrungen
V = 4 *      A * hk
V = 4 * r * r * 3,14 * hk
r = 0,8 cm : 2 = 0,4 cm
V = 4 *  0,4 * 0,4 * 3,14 * 1,5 =
   = 4 *        0,5024       * 1,5 =
   = 4 *              0,7536        =
   =                3,0144           = 3,0 cm³

Höhe der Pyramide
h² = 5² - 2²
h² =  21              | √
h  = 4,58 = 4,6 cm

Volumen der Pyramide
V =    A * h : 3
V = 4 * 4 * 4,6 : 3 = 24,5 cm³

Volumen des Werkstückes
72 - 3 + 24,5 = 93,5 cm³

b) Masse des Werkstückes

1 cm³ = 7,9 g
93,5 cm³ = 7,9 * 93,5 = 738,65 g = 738,7 g

zurück 2000 -  Aufgabengruppe IV, Nr. 1

 qa-2000-IV-1

Lösung

Mit x multiplizieren
22 + 20 - x  = 0,5 x - 12 + 12 x

        42 - x   =     12,5 x - 12       | +12
        54 - x   =     12,5 x              | + x
         54       =     13,5 x              | : 13,5
          4        =            x

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  IV, Nr. 2

Lösung

 
  1. Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und trage die Punkte A (6 | 1) und B (11 | 3) ein.
  1. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Schenkellänge 7 cm.
  1. Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Strecke AB].
2000 BIV 2a
  • Die Punkte A (6 | 1) und B (11 | 3) einzeichnen
  • Zwei Teilkreise um A und B mit Radius 7 cm schlagen (blau)
  • Den Schnittpunkte C der Teilkreise mit A und B zu Dreick ABC verbinden.
2000 BIV 2b
  • Teilkreise um um A und B mit dem gleichen Radius schlagen (lila)
  • Die Mittelsenkrecht zur Strecke AB verläuft durch die Schnittpunkte der Teilkreise
  • Mittelsenkrechte zeichnen
  1. Konstruiere durch den Punkt C die Parallele zur Strecke [AB].
  1. Lege durch Konstruktion den Punkt D so fest, dass ein Parallelogramm ABCD entsteht.
2000 BIV 2c
  • Zwei Teilkreise um C schlagen (rot), die die Mittelsenkrechte schneiden
  • Um diese beiden Schnittpunkte je zwei weitere Teilkreises schlagen (rot)
  • Die Parallele zur Strecke AB durch den Punkt C verläuft durch die Schnittpunkte dieser weiteren Teilkreise.
2000 BIV 2d
  • Teilkreis (grün) um A mit dem Radius r = [BC], so zeichnen, dass er die rote Parallel schneidet
  • Dieser Schnittpunkt D ist die vierte Ecke des Parallelogrammes ABCD

Angaben ohne Gewähr  

zurück QA 2000: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

  1. Frau Michel möchte sich ein Auto für 32 000 DM kaufen. Sie hat 11 000 DM Eigenkaptial. Der Autohändler bietet ihr an, den  Rest in 36 Monatsraten zu je 649 DM zu bezahlen. Frau Michel könnte aber auch bei einer Bank einen Kredit zu 7,25 % mit einer Laufzeit von 3 Jahren aufnehmen.
    1. Wie viel müsste sie beim Angebot des Händlers insgesamt für das Auto bezahlen?
    2. Bei Barzahlung erhält Frau Michel vom Händler 3 % Skonto auf den Kaufpreis. Welchen Betrag müsste sie dann bei der Bank aufnehmen?
    3. Wie viele DM müsste Frau Michel an die Bank insgesamt zurückzahlen?
    4. Wie viele DM kann Frau Michel beim günstigeren Angebot sparen?

Lösung

  1. 36 Monatsraten
    649 DM * 36 = 23 364 DM
    Gesamtpreis beim Händlerangebot: Anzahlung + 36 Monatsraten
    11 000 DM + 23 364 DM = 34 364 DM
    Das Auto kostet beim diesem Angebot 34 364 DM.
  2. Skonto bei Barzahlung
    100 % = 32 000 DM
        1 % = 320 DM
        3 % = 320 DM * 3 = 960 DM
    Preis bei 3 % Skonto
    32 000 DM - 960 DM = 31 040 DM
    So viel muss Frau Michel bei der Bank aufnehmen
    31 040 DM - 11 000 DM = 20 040 DM
    Frau Michl muss 20 040 DM aufnehmen.
  3. Zinsen für 20 040 DM in 1 Jahr
    100 % = 20 040 DM
        1 % = 200,40 DM
    7,25 % = 200,40 DM * 7,25 = 1 452,90 DM
    Zinsen in 3 Jahren
    1 452,90 DM * 3 = 4 358,70 DM
    Rückzahlung an Bank nach 3 Jahren
    20 040 DM + 4 358,70 DM = 24 398,70 DM
  4. Kosten bei einer Bankfinanzierung
    11 000 DM + 24 398,70 DM = 35 398,70 DM
    Ersparnis beim Händlerangebot
    35 398,70 DM - 34 364 DM = 1 034,70 DM
    Frau Michel spart beim Händlerangebot 1 034,70 DM.

zurück QA 2000: Aufgabengruppe  IV, Nr. 4

  1. Schulabgänger: Die starken Jahrgänge kommen
    Absolventen der allgemeinbildenden Schulen (Angaben in 1000)
    qa-2000-IV-4b
    1. Stelle die Anteile der Abgänger für das Jahr 2000 in einem Kreisdiagramm (r = 5 cm) dar. Runde auf ganze Grad.
    2. Wie viele Schüler verlassen durchschnittlich die Hauptschule mit Abschluss in den im Diagramm dargestellten Jahrgängen?
    3. Um wie viel Prozent liegt die Zahl der Abgänger mit Hauptschulabschluss im Jahr 2000 über/unter dem Durchschnitt? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

  1. Kreisdiagramm

    360 " = 943 000 Abgänger
         1° = 943 000 : 360 = 2 619 Abgänger
    249 000 Abgänger: 249 000 : 21619 ≈ 95°
    377 000 Abgänger: 377 000 :  21619 ≈ 144°
    238 000 Abgänger: 238 000 : 21619 ≈ 91°
      79 000 Abgänger:   79 000 : 21619 ≈ 30°

    qa.2000-IV-4-diagramm
  2. Hauptschüler mit Abschluss von1995 bis 2015 im Schnitt in Tausend
    (232 + 238 + 262 + 235 + 213) : 5 = 1 185 : 5 = 236 Tsd.
  3. Abweichung der Hauptschüler mit Abschluss 2000 vom Durchschnitt
    Abweichung in Tsd: 238 - 235 = 2 Tsd. über dem Schnitt
    100 % = 236 Tsd.
        1 % = 2,36 Tsd.
    2 Tsd : 2,36 Tsd = 0,85 %
Zum Seitenanfang