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Mathe-Quali 1999: Aufgaben mit Lösungen

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zurück 1999 -  Aufgabengruppe I, Nr. 1

 QA-1999-I-1

Lösung

Klammern auflösen
15 x + 22,5 + 60 x - 48 - 9 - 12 x - 4,5 x - 1,5 = 2,5 (7x +34,8)

Beide Seiten zusammenfassen
58,5 x - 36   = 17,5 x + 87        | + 36

58,5 x          = 17,5 x + 123      | - 17,5 x  
    41 x         = 123                   | : 41
       x           =    3

zurück QA 1999: Aufgabengruppe I/2

Aus Blech wird eine Kastenform für Kuchen hergestellt (siehe Skizze; Maße in mm):
QA-1999-I-2
Berechne die Fläche des zu verwendenden Blechs, wenn für die Falze ein Mehrbedarf von 7 % zu berücksichtigen ist.
Hinweis: Runde alle Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf ganze Zahlen.

Lösung

Blech = rechteckiger Boden + 4 trapezförmige Seitenwände

Boden
A = a * b
A = 324 + 84 = 27216 mm²

QA-1999-I-2bBei den Trapezen muss der Abstand der parallelen Seiten mithilfe des Pythagoras berechnet werden.

Höhe der Trapeze
h² = 75² - 14²

h² = 5625 - 196
h² =      5429       | √
h   =      73,6  ≈ 74 mm

Fläche der beiden langen Seitenwände
A = 2 * (a + c) : 2 * h
A = 2 * (352 + 324) : 2 * 74 =
   = 2 *      25 012                 =
   =          50 024 mm²

Fläche der beiden kurzen Seitenwände
A = 2 * (a + c) : 2 * h
A = 2 * (84 + 112) : 2 * 74 =
   = 2 *      7 252                 =
   =          14 504 mm²

Fläche von Boden + Seitenwände
27216 mm² + 50 024 mm² + 14 504 mm² = 91744 mm²

Zuzüglich 7 % für Falze
100 % = 91744 mm²
    1 % = 91744 mm² : 100 = 917,44 mm²
107 % = 917,44 mm² * 107 = 98166 mm²

zurück QA 1999: Aufgabengruppe I, Nr. 3

Auf Schmuckstücken sind zur Kennzeichnung des Reinmetallgehalts in
Promille die Zahlen 333, 585, 590, 750, 835, 900 oder QA-1999-I-3925 eingeschlagen.
- Ein Kilogramm Feingold kostet 15 587 DM.
- Ein Kilogramm Feinsilber kostet 300 DM.

    1. Ein Silberring wird für 80 DM verkauft. Dabei entfallen 2,5 % des Preises auf den Feinsilberanteil. Welche Menge Feinsilber enthält der Ring?
    2. Wie teuer müsste eine 585-er Goldkette mit 25 Gramm Gesamtmasse verkauft werden, wenn der Juewlier zusätzlich zum Feingolddpreis für weitere Kosten und Gewinn 500 DM veranschlagt?

Hinweis: Runde alle Ergegnisse auf 2 Dezimalstellen.

Lösung

  1. Feinsilberanteil in DM
    100 % = 80 DM
        1 % = 80 DM : 100 = 0,80 DM
     2,5 % = 0,80 DM * 2,5 = 2,00 DM
    Feinsilberanteil in Gramm
    300 DM = 1000 g
        1 DM = 1000 g : 300 = 3,333 g
        2 DM = 3,333 g * 2 = 6,666 g ≈ 6,67 g
  2. Goldanteil in Gramm
    1000 ‰ = 25 g
          1 ‰ = 25 g : 1000 = 0,025 g
      585 ‰ = 0,025 g * 585 = 14,625 g
    Goldanteil in DM
    1000 g = 15 587 DM
          1 g = 15 587 DM : 1000 = 15,587 DM
    14,625 g = 15,587 DM * 14,625 ≈ 227,96 DM
    Zuzüglich weitere Kosten und Gewinn
    227,96 DM + 500 DM = 727,96 DM

zurück QA 1999: Aufgabengruppe I/4

Aus einer Blechtafel aus Nickellegierung (Dicke s = 2 mm; Breite: 142 cm) sollen Rohlinge mit Mittelloch für die Münzprägung gestanzt werden (siehe Skizzen).

QA-1999-I-4Maße in mm

  1. Welche Länge muss das Blech mindestens haben, wenn 50 000 Rohlinge benötigt werden.?
  2. Berechne das Volumen eines Rohlings.
  3. Welche Dichte hat die Nickellegierung, wenn eine Scheibe 9,2 g Masse hat?

Hinweis: Rechne mit ¶ = 3,14.

Lösung
  1. Anzahl der Rohlinge in 1 Reihe, wenn das Blech 142 cm breit ist
    1 Rohling: 28,4 mm = 2,84 cm
        2,84 cm = 1 Rohling
    142,00 cm = 142 cm : 2,84 cm = 50 Rohlinge
    Anzahl der Reihen bei 50 000 Rohlingen
           50 Rohlinge = 1 Reihe
    50 000 Rohlinge = 1 000 Reihen
            1 Reihe  = 2,84 cm breit
    1 000 Reihen = 2,84 cm * 1000 = 2 840 cm = 28,40 m
  2. Volumen eines Rohlings
    VRohling =        VZylinder        -  VMittelloch
    VRohling =     AZylinder    * h  -  AMittelloch * h
    VRohling = 14,2² * 3,14 * 2  - 2,8² * 3,14 * 2 =
    VRohling = 1266,2992 mm³  -   49,2352 mm³ = 1217,064 mm³ = 1,217 cm³
  3. Dichte von Nickel
    1,217 cm³ = 9,2 g
    1,000 cm³ = 9,2 g : 1,217 = 7,559 g
    Nickel hat eine Dichte von 7,559 g/cm³

zurück QA-1999: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Löse mithilfe einer Gleichung:
Dividiert man das Sechsfache einer Zahl durch 4 und vermehrt den Quotienten um 12, so erhält man die doppelte Differenz aus 9 und dem vierten Teil dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?

Lösung

6 x : 4 + 12 = 2 * (9 - 0,25 x)
 1,5 x  + 12  = 18 - 0,5 x          | + 0,5 x
   2 x   + 12 =  18                     | -12
   2 x            =   6                    | : 2
     x             =  3

zurück QA 1999 II/2 - Lösung

Das Therapiebecken eines Thermalbades soll mit einer 1 m breiten Fliesenumrandung versehen werden (siehe Skizze). Die beauftragte Firma berechnet 184,90 DM pro m². Der besondere Aufwand beim Verlegen wird mit einer Kostenpauschale von 4 % der Gesamtkosten in Rechnung gestellt.

QA-1999-II-2

  1. Berechne die Fläche, auf der die Fliesen verlegt werden sollen.
  2. Berechne die Kosten dieser Baumaßnahme.
    Hinweis: Rechne mit ¶ = 3,14.

Lösung

  1. Der Weg besteht aus 4 großen Halbkreisringen und 4 kleinen Viertelkreisringen.
    Zusammengestzt sind das 2 große Kreisringe und 1 kleiner Kreisring.
    Agroßer Kreisring = AKreis außen - AKreis innen
    Agroßer Kreisring = 5² * 3,14   -   4² * 3,14 =
                           =     78,5      -     50,24     = 28,26 m²
    Akleiner Kreisring  = AKreis außen - AKreis innen
    Akleiner Kreisring =  3² * 3,14   -   2² * 3,14 =
                           =     28,26       -     12,56    = 15,7 m²
    Gesamtfläche: 2 große Kreisringe + 1 kleiner Kreisring
    2 * 28,26 m² + 15,7 m² = 72,22 m²
    Es müssen 72,22 m² Fliesen verlegt werden.
  2. Kosten
       1     m² = 184,90 DM
    72,22 m² = 184,90 DM * 72,22 = 13 353,478 DM
    Plus 4% Kostenpauschale
    100 % = 13 353,478 DM
        1 % = 13 353,478 DM : 100 = 133,53478 DM
    104 % = 133,53478 DM * 104 = 13 887,62 DM
 

zurück QA 1999: Aufgabengruppe  II, Nr. 3

Eine Computerfirma kauft 80 PCs zum Stückpreis von 2 800 DM ein. Die Firmenleitung kalkuliert mit 20 % Geschäftskosten. Sie legt den Verkaufspreis für ein Gerät auf 4 200 DM fest.
Nur 20 % der Ware kann zum geplanten Einzelpreis verkauft werden. 48 weitere PCs werden später mit einem Sonderrabatt von 15 % verkauft. Die restlichen Geräte werden wegen einer Neulieferung zum Einkaufspreis abgegeben.

    1. Berechne den geplanten Selbstkostenpreis für die 80 PCs.
    2. Wie hoch sind die Gesamteinnahmen?
    3. Um wie viel Prozent weichen die tatsächlichen von den geplanten Einnahmen ab?

Lösung

  1. Selbstkostenpreis
    100 % = 2 800 DM
        1 % = 2 800 DM : 100 = 28 DM
    120 % = 28,00 DM * 120 = 3 360 DM
    3 360 DM * 80 = 268 800 DM
  2. Einahmen aus dem geplanten Verkaufspreis
    20 % von 80 PCs: 80 : 100 * 20 = 16 PCs
      1 PC   = 4 200 DM
    16 PCs = 4 200 DM * 16 = 67 200 DM
    Einnahmen aus 1 PCs mit 15 % Sonderrabatt
    100 % = 4 200 DM
        1 % = 42 DM
      85 % = 42 DM * 85 = 3 570 DM
    Einnahmen aus 48 PCs mit 15 % Sonderrabatt
      3 570DM * 48 = 171 360 DM
    Einnahmen aus den restlichen PCs zum Einkaufspreis
    Rest: 80 - 16 - 48 = 16 PCs
      1 PC   = 2 800 DM
    16 PCs = 2 800 DM * 16 = 44 800 DM
    Gesamteinnahmen
    67 200 DM + 171 360 DM + 44 800 DM = 283 360 DM
  3. Geplante Einnahmen für die 80 PCs
    4 200 DM * 80 = 336 000 DM
    Mindereinnahmen in DM
    336 000 DM - 283 360 DM = 52 640 DM
    Mindereinnahmen in Prozent
    100 % = 336 000 DM
        1 % = 336 000 DM : 100 = 3 360 DM
    52 640 : 3 360 ≈ 15,7 %

zurück QA 1999: Aufgabengruppe II/4

QA-1999-II-4bEin moderner Flaschenverschluss aus Edelstahl (Dichte 8,5 g/cm³) verschließt die Flasche durch sein Eigengewicht. Wie schwer ist er?
Berechne die Masse des fertigen Werkstücks in kg.

Hinweis:
Maße in cm; rechne mit ¶ = 3,14..
Runde alle Teilergebnisse auf zwei Dezimalstellen.

 

 

 

Lösung

Volumen des Oberteils
VQuader =      A       * hk
VQuader = 1,5 * 1,5 * 1 = 2,25 cm³

Volumen des Zylinders in der Mitte
QA-1999-II-4cRadius 0,5 cm : 2 = 0,25 cm
VZylinder =    r²   *   π    * hk
VZylinder = 0,25² * 3,14 * 1,5 =
             = 0,294375 cm³ ≈ 0,29 cm³

Volumen des Kegels unten
VKegel =     A         * hk / 3
VKegel = 1,5² * 3,14 * 4 / 3 = 9,42 cm³

Gesamtvolumen
2,25 cm³ + 0,29 cm³ + 9,42 cm³ =11,96 cm³

Masse
  1,00 cm³ = 8,5 g

12,36 cm³ = 8,5 g * 11,96 = 101,66 g

zurück 1999 -  Aufgabengruppe III, Nr. 1

 QA-1999-III-1     | * x

Lösung

13,75 x - 4 (4 - 3 x) = 9 + 0,75 x

13,75 x - 16  + 12 x = 9 + 0,75 x   |

25,75 x  - 16            = 9 + 0,75 x   | - 0,75 x

25 x       - 16            = 9                  | +16

25 x                         = 25                 | : 25

     x                         = 1  

zurück QA 1999: Aufgabengruppe III/2

Eine Boje besteht aus zwei gleichen Kegeln, die an ihren Grundflächen zusammengesetzt sind. Der Durchmesser der Grundfläche eines Kegels beträgt 160 cm. Die Höhe der Boje ist von Spitze zu Spitze 240 cm.

    1. Fertige eine räumliche Skizze der Boje an und bemaße sie.
    2. Berechne das Volumen der Boje.
    3. Das Volumen der Boje soll um die Hälfte vergrößert werden. Zwischen die beiden kegelförmigen Teile wird deshalb ein zylinderförmiges Teil mit der gleichen Grundfläche eingesetzt. Berechne die Höhe des Zwischenstücks.QA-1999-III-2

Lösung

  1. Skizze
  2. Volumen der Boje
    VBoje = 2 * Kegel
    VBoje = 2 *     A    *   hK / 3
    r = 160 cm : 2 = 80 cm
    hk = 240 cm : 2 = 120 cm
    VBoje = 2 * 80² * 3,14  *  120  / 3
    VBoje = 2 *       803 840 cm³ =
              =       1 607 680 cm³
  3. Hälfte des Volumens
    1 607 680 cm³ : 2 = 803 840 cm³
    Grundfläche des eingesetzten ZylindesQA-1999-III-2c
    80² * 3,14 = 20 096 cm²
    Höhe des eingestzten Zylinders
        V         =     A     * hK
    803 840 = 20 096 * hK    | 20 096
    40 = hK
    Das eingesetzte Zwischenstück ist 40 cm hoch.

zurück QA-1999: Aufgabengruppe III, Nr. 3

  1. Eine Molkerei füllt ihren Fruchtjogurt in Pfandgläser ab. Jeweils 500 Gramm des Fruchtjogurts werden QA-1999-III-3bin ein Pfandglas abgefüllt, das leer 240 Gramm wiegt.

    1. Gib den Anteil des Pfandglases am Bruttogewicht eines gefüllten Jogurtglases in Prozent an.
    2. Sechs gefüllte Jogurtgläser werden in einen Kunststoffbehälter gestellt. Der Kunststoffbehälter wiegt 9 % der in ihm transportierten Ware. Wie schwer ist der leere Kunststoffbehälter?
    3. Ein Jugendlicher verspeist in einem Jahr 20 Kilogramm Fruchtjogurt. Wie viele Kilogramm Altglas würde es geben, wenn er den Jogurt anstatt in Pfandgläsern in gleich schweren Einweggläsern kaufen würde?

Lösung

  1. Bruttogewicht = Glas + Inhalt
    240 g + 500 g = 740 g
    Prozentanteil des Glases daran
    100 % = 740 g
        1 % = 740 g : 100 = 7,4 g
    240 g : 7,4 g ≈ 32,4%
  2. Gewicht der 6 Gläser
    740 g * 6 = 4 440 g
    Gewicht des Kunststoffbehälters
    100 % = 4 440 g
        1 % = 4 440 g : 100 = 44,4 g
        9 % = 44,4 g * 9 = 399,6 g
  3. Anzahl der Gläser im Jahr
    20 kg : 0,5 kg = 40
    Gewicht von 40 Gläsern
    0,240 kg * 40 = 9,6 kg

zurück QA 1999: Aufgabengruppe  III, Nr. 4

Lösung

  1. Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm. Darin liegt die Diagonale eines Quadrats mit den Punkten B(10|3,5) und D(3|7,5)
 
1999 BIII 4 Loes1
Diagonale mit den Ecken B und D des Quadrates

 

  1. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die andere Diagonale. Zeichne nun das Quadrat ABCD ein. Benenne den Schnittpunkt der Diagonalen mit M und gib seine Koordinaten an.
1999 BIII 4 Loes2a
  • Teilkreise mit gleichem Radius um B und D zeichnen (rot)
  • Mittelsenkrechte zu [BD] durch die Schnittpunkte der Teilkreise zeichnen (rot)
  • Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Diagonalen ist der Punkt M mit den Koordinaten M[6,5 | 5,5]
1999 BIII 4 Loes2
  • Um M einen Kreis mit dem Radius [MB] ziehen
  • Die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Kreis um M sind die fehlenden Ecken des Quadrates ABCD.
  • Das Quadrat ABCD zeichnen
  1. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende g zum Winkel CMD. Verlängere sie bis zur Rechtswertachse (x-Achse) und gib für den Schnittpunkt S die Koordinaten an.
  1. Den spitzen Winkel zwischen der Winkelhalbierenden g und der Strecke CM kann man ohne zu messen bestimmen. Erkläre warum.
1999 BIII 4 Loes3S(3,5 | 0)
  • Die Diagonalen in einem Quadrat schneiden sich im rechten Winkel (90°).
  • Die Winkelhalbierende g (grün) halbiert einen solchen 90°-Winkel.
  • Der spitze Winkel zwischen der Winkelhalbierenden g und der Strecke CM muss also die Hälfte von  90°, also 45° betragen.

 Angaben ohne Gewähr  

zurück QA-1999: Aufgabengruppe IV, Nr. 1

  1. Die Mutter Isabella ist heute 4 mal so alt wie ihre Tochter. In 12 Jahren qa.1998-IV-1wird die Mutter nur noch doppelt so alt sein wie die Tochter. Wie alt sind Mutter und Tochter heute?


Lösung

Heute:            Mutter = 4 * Tochter
In 12 Jahren: Mutter+12 = 2 * (Tochter+12)

4 * Tochter +12 = 2 * (Tochter + 12)
4 * Tochter +12 = 2 *  Tochter + 24    | - 2 * Tochter
2 * Tochter +12 =                       24    | -12
2 * Tochter        =                       12    | : 2
      Tochter        =                         6

Die Tochter ist heute 6 Jahre und ihre Mutter 24 Jahre alt.

zurück QA 1999: Aufgabengruppe IV/2

Ein rechteckiges Grundstück muss im Rahmen einer Erschließungsmaßnahme für den Bau einer Straße geteilt werden. Dabei enstehen  eine dreieckige und eine trapezförmige Fläche (siehe Skizze; Maße in m).

  1. Wie groß ist die abgetrennte Dreiecksfläche?
  2. Beide Grundstücke sollen entlang der Straße durch einen Gartenzaun gesichert werden. Wie viel Meter Gartenzaun werden insgesamt benötigt?
  3. Das verbleibende trapezförmige Grundstück soll in vier gleich große Flächen aufgeteilt werden. Berechne den Preis für einen Bauplatz, wenn ein Quadratmeter 385 DM kostet.

QA-1999-IV-2

Lösung

  1. Abgetrenntes Dreieck
    A = g * h / 2
    A = 25 *40 / 2= 500 m²
  2. Länge des Zaunes auf einer Straßenseite
    z² = 25² + 40²
    z² = 625 + 1600
    z² = 2225              | √
    z   ≈ 47,17 m
    Beide Straßenseiten
    47,17 m * 2 = 94,34 m
  3. Verbleibende Fläche
    d = 70,6 - 25 = 45,6 m
    A = (e + d ) : 2 * h
    A = (70,6 + 45,6) : 2 * 40
    A = 2324 m²
    Ein Viertel davon (= 1 Bauplatz)
    2324 m² : 4 = 581 m²
    Preis für 581 m²
    385 DM * 581 = 223 685 DM

zurück QA 1999: Aufgabengruppe IV, Nr. 3

  1. Um 8.00 Uhr fährt Herr Aumüller mit einem PKW von A-Dorf ins 240 km entfernte B-Dorf und braucht für diese STrecke 4 Stunden. Um 9.00 Uhr folgt ihm Frau Bayer im Sportwagen.
    1. Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der Herr Aumüller fährt.
    2. Wie schnell müsste Frau Bayer durchschnittlich fahren um gleichzeitig mit Herrn Aumüller in B-Dorf einzutreffen?
    3. Um 10.30 Uhr wird Frau Bayer durch eine Reifenpanne 15 Minuten aufgehalten.
      Berechne die nun nötige Geschwindigkeit um das Treffen mit Herrn Aumüller trotzdem einzuahlten.
    4. Stelle den tatsächlichen Fahrtverlauf der beiden PKW grafisch dar (Wegachse: 1 cm → 20 km; Zeitachse: 2 cm → 1 Std.)

Lösung

  1. 4 Stunden = 240 km
    1 Stunde   = 240 km : 4 = 60 km
    Herrn Aumüllers Durschnittsgeschwindigkeit beträgt 60 km/h.
  2. 3 Stunden = 240 km
    1 Stunde   = 240 km : 3 = 80 km
    Frau Bayers Durschnittsgeschwindigkeit müsste 80 km/h betragen.
  3. Verbleibende Strecke nach der Panne
    3,0 h = 240 km
    1,5 h = 240 km : 2 = 120 km
    Verbleibende Zeit
    12:00 - 10:45 = 1 h 15 min = 1,25 h
    1,25 h = 120 km
    1,00 h = 120 km : 1,25 = 96 km
    Frau Bayer muss mit 96 km/h weiter fahren.
  4. Weg-Zeit-Diagramm
    QA-1999-IV-3

zurück QA 1999: Aufgabengruppe  IV, Nr. 4

  1. Das Diagramm zeigt die Anteile der Weltbevölkerung in den verschiedenen Regionen der Erde für die Jahre 1990 und 2025.QA-1999-IV-4
    1. Wie viele Menschen werden voraussichtlich im Jahr 2025 auf der Erde insgesamt leben?
    2. Stelle die Anteile der Weltbevölkerung für das Jahr 2025 in einem Kreisdiagramm dar (r = 5 cm).
      Runde auf ganze Grad.

Lösung

  1. Erdbevölkerung 2025
    3138 + 1803 + 702 + 1583 + 542 + 361 + 344  = 8 473 Mio.
  2. Anteile der Weltbevölkerung 2025
         360° = 8473 Mio.
             1° = 8473 Mio. : 360 = 23,536 Mio.

     Südostasien: 3138 : 23,536 ≈ 133°
     Ostasien ...
     Kreisdiagramm
QA-1999-IV-4b

zurück 1999 -  Aufgabengruppe V, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:
2,5 ( x - 9) - 1,25 * 3,2 x - (18,7 + 12 x) = 1,9 (x + 0,4) - 4 (4,8 x - 0,91)

Lösung

Klammern auflösen
2,5 x - 22,5 - 4 x - 18,7 - 12 x  = 1,9 x + 0,76 - 19,2 x + 3,64

Seiten zusammenfassen
- 13,5 x - 41,2                          = - 17,3 x + 4,40             | + 17,3 x
    3,8 x - 41,2                          =              + 4,40             | + 41,2
    3,8 x                                    =              + 45,6             | : 3,8
          x                                    =                 12

zurück QA 1999: Aufgabengruppe  V, Nr. 2

Lösung

  1. Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm. Trage die Punkte M(6|6) und T(7|3) ein. Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius MT.
 
1999 V 2 Loes
Punkte M und T mit dem Kreis um M duch T

 

  1. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Senkrechte zu TM durch T.
  1. Ergänze die Strecke TM zum rechtwinkligen Dreieck TMA. In diesem Dreieck ist MA die Hypotenuse. Der Winkel AMT misst 60°.
1999 V 2 Loes a
  • Strahl von M durch T zeichnen
  • Teilkreise um T zeichnen, die den Strahl schneiden
  • Um die Schnittpunkte Teilkreise zeichnen.
  • Durch die Schnittpunkte dieser vier Teilkreise die Senkrechte zu TM zeichnen
1999 V 2 Loes b
  • Teilkreis um T mit dem Radius MT zeichnen (grün)
  • Von M aus durch den Schnittpunkte des Teilkreises mit dem Kreis die Hypothenuse MA zeichnen.
  • Der Winkel AMT misst 60°.
  1. Spiegele A an TM; nenne diesen Bildpunkt B.
  1. Konstruiere das gleichseitige Dreieck ABC, dessen Inkreis K ist.
1999 V 2 Loes c 1999 V 2 Loes d

 Angaben ohne Gewähr  

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Pia hat geerbt. 7 / 9 des Geldes investiert sie in eine Eigentumswohnung, die sie vermietet. Den QA-1999-V-3bRest legt sie auf der Bank  zu einem Zinssatz von 4,5 % an.

    1. Nach 12 Monaten werden 1800 DM Zinsen auf ihr Girokonto überwiesen. Wie hoch ist die Bankeinlage?
    2. Wie viel kostete die Eigentumswohnung?
    3. Pia erhält durch die Vermietung monatlich 448 DM. Mit welchem Zinssatz verzinst sich damit der Kaufpreis in einem Jahr?
    4. Um wie viele DM müsste sie die Mantsmiete erhöhen um dieselbe Verzinsung wie auf der Bank zu haben?

Lösung

  1. Höhe der Bankanlage
    Z = K * p / 100
    1800 = K * 4,5 / 100   | * 100
    180 000 = K * 4,5       | : 4,5
      40 000 = K
    Pia hat 40 000 DM bei der Bank angelegt.
  2. Kosten der Eigentumswohung
    Bankanlage: 2 / 9 = 40 000 DM
                          1 / 9 = 40 000 DM : 2 = 20 000 DM
    Wohung:      7 / 9 = 20 000 DN * 7 = 140 000 DM
  3. Mieteinnahme im Jahr
      1 Monat   = 448 DM
    12 Monate = 448 DM * 12 = 5 376 DM
    Verzinsung der 140 000 DM für die Wohnung
    100 % = 140 000 DM
        1 % = 140 000 DM : 100 = 1 400 DM
    5 376 DM : 1 400 DM = 3,84 %
    Die Wohung verzinst sich mit 3,84 %.
  4. Erforderliche Mieteinnahmen bei 4,5 % Verzinsung
    100 % = 140 000 DM
        1 % = 140 000 DM : 100 = 1 400 DM
     4,5 % = 1 400 DM * 4,5 = 6 300 DM
    Höhe der Monatsmiete bei 4,5 % Verzinsung
    12 Monate = 6 300 DM
      1 Monat   = 6 300 DM : 12 = 525 DM
    Erforderliche Mieterhöhung
    525 DM - 448 DM = 77 DM

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Eine Putzkolonne soll die gläserne Fassade eines 12-geschossigen Hochhauses reinigen. Für ein Stockwerk benötigen 18 Arbeiter zwei Tage.

    1. Wie viele Tage brauchen sie für die gesamte Reinigungsarbeit?
    2. Nach vier Tagen erkranken drei Arbeiter. Um wie viele Tage verzögert sich die Arbeit, wenn keine Arbeiter als Ersatz kommen und die tägliche Arbeitszeit gleich bleibt?
    3. Die verbliebenen 15 Arbeiter sind zwölf Tage beschäftigt. Dann kommen fünf Arbeiter hinzu. Nach insgesamt wie viel Tagen ist der Auftrag abgeschlossen?

Lösung

  1. Arbeitstage für 12 Stockwerke mit 18 Arbeitern
    18 Arbieter für   1 Stockwerke = 2 Tage
    18 Arbieter für 12 Stockwerke = 2 Tage * 12 = 24 Tage
  2. Erkrankung von drei Arbeiter nach vier Tagen
    Restzeit für 18 Arbieter: 24 Tage - 4 Tage = 20 Tage
    Restzeit für 15 Arbeiter
    18 Arbeiter = 20 Tage
      1 Arbeiter = 20 Tage * 18 = 360 Tage
    15 Arbeiter = 360 Tage : 15 = 24 Tage
    Verzögerung: 24 Tage - 20 Tage = 4 Tage
  3. 12 Tage Weiterarbeit von 15 Arbeitern
    Restzeit für 15 Arbeiter: 24 Tage - 12 Tage = 12 Tage
    Restzeit für 20 Arbeiter
    15 Arbeiter = 12 Tage
      1 Arbeiter = 12 Tage * 15 = 180 Tage
    20 Arbeiter = 180 Tage : 20 = 9 Tage
    Gesamte Arbeitsdauer
    4 Tage mit 18 Arbeitern + 12 Tage mit 15 Arbeitern + 9 Tage mit 20 Arbeitern = 25 Tage
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