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Mathe-Quali 2008 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 1

Für ein Drahtmodell eines Quaders werden 140 cm Draht benötigt.
QA-2008-b-I-1Die Länge a ist dreimal so lang wie die Breite b. Die Höhe c ist doppelt so lang wie die Länge a.
Wie hoch ist der Quader? Löse mit einer Gleichung.

Lösung

140 = UBoden        +   UDecke     + 4 * Höhe
140 = 2*(3 b + b) + 2*(3 b + b) + 4*6 b
140 =       8 b          +       8 b         + 24 b
140 =                    40 b                                    | : 40
 3,5 =                        b

Höhe: 3,5 * 6 = 21 cm

Statt der Variablen b für die Breite kann man auch die Variable x verwenden.

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 2


QA 2008 b I 2Berechne den Inhalt der grau hinterlegten Fläche (Maße in cm):

 

 

 

 

 

 

Lösung

Kopf
    A = r² * 3,14
    A = 2,5² * 3,14 = 19,625 cm²

QA 2008 b I 2 Loes1 Rumpf
   A = a * b
   A = 5 * 6 = 30 cm²
Höhe der Beine (Pythagoras)
    6²   -   3,6² = h²
    36 - 12,96  = h²
    23,04        = h²   | Wurzel
        4,8        = h
Zwei Beine
   A =  g   *  h   * 2
   A = 2,5 * 4,8 * 2 = 24 cm²
Armbereich
   Länge:
   (2,5 + 3,6) * 2 = 12,2 cm
   Breite:  12,5 - 6 - 4,8  =1,7 cm
   A = 12,2 * 1,7 = 20,74 cm²
Gesamt
   19,625 + 30 + 24 + 20,74 =
              94,365 cm²










zurück QA 2008: Aufgabengruppe I - Aufgabe 3

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A(-2 | 2) und C (1 | 3) ein.
  1. Zeichne das gleichseitige Dreieck AMC.

2008 BI 4 Loes1Koordinatensystem mit A(-2 | 2)
und C(1 | 3)

2008 BI 4 Loes2Teilkreise um A und C
mit Radius r = [AC]
  1. Das Dreieck AMC ist das Bestimmungsdreieck eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seite s = [AC]. Zeichne dieses Sechseck.
2008 BI 4 Loes3
Schnittpunkt M der Teilkreise mit A und C
zu gleichseitigem Dreieck AMC verbinden
2008 BI 4 Loes4
Umkreis des regelmäßigen Sechsecks
um M mit Radius r = [AC] zeichnen
2008 BI 4 Loes5Teilkreise um A und C mit r = [AC]; restliche
Ecken durch weiteren Teilkreis ermitteln
2008 BI 4 Loes6
Schittpunkte der Teilkreise mit dem Kreis um M
zu einem regelmäßigen Sechseck verbinden
  1. Ergänze das Dreieck AMC zur Raute AMCD.
 
 2008 BI 4 Loes7  

Angaben ohne Gewähr

 

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 4

Der 17-jährige Ferdinand hat 3000 € gespart und möchte dieses Geld 9 Monate anlegen.
Hierfür hat er zwei Angebote:

- Bank A -



Taschengeldkonto mit

Guthabenverzinsung von 2 %

- Bank B -

Sonderaktion für Jugendliche

Für jeden Tausender:

  • 1 € Zinsen monatlich
    in den ersten 6 Monaten
  • ab dem 7. Monat 2 € zinsen monatlich

a) Wie viele Euro Zinsen mehr würde ihm das bessere Angebot bringen?
b) Nach einem Jahr würde Ferdinand bei der Bank B 54 € Zinsen erhalten.
    Welchem Zinssatz würde dies entsprechen?

Lösung

a) Zinsen bei Bank A
    Z = 3000 / 100 * 2 / 12 * 9 = 45 €
    Zinsen bei Bank B in den ersten 6 Monaten
    1 * 3 * 6 = 18 €
    ZInsen bei Bank B in den Monaten 7 bis 9
    2 * 3 * 3 = 18 €
    Zinsen ingesamt bei Bank B
   18 + 18 = 36 €
    Mehrertrag bei Bank A
    45 - 36 = 9 €
b) Zinssatz bei Bank B
    100 % = 3000 €

       1  % =    30 €
    54 / 30 = 1,8 (%)

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:
QA 2008 b II 1| Brüche in Dezimalbrüche umgewandelt

Lösung

 0,5 x + 2 − 0,5 * (7 x - 24)  = 3 * (2 x − 0,5) − 2 x + 1,5     | Klammern auflösen
 0,5 x + 2 − 3,5 x + 12        =     6 x − 1,5    − 2 x + 1,5     | Seiten zusammenfassen
                    -3 x + 14        =       4 x                                 | + 3 x
                               14       =        7 x            
                   | : 7

                                2        =          x


zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 2

Die Kantenlänge eines Würfels beträgt 20 cm.
Welchen Durchmesser hat die Grundfläche eines Kegels mit gleichem Volumen und gleicher Körperhöhe wie der Würfel?

Lösung

Volumen des Würfels:
    V = 20 * 20 * 20 = 8000 cm³

Grundfläche des Kegels
        V    = A  *  h  : 3
    8000    = A * 20 : 3      | * 3

    24 000 = A * 20           | : 20
     1 200 = A
Radius des Kreises
    A  = r² * 3,14
   1 200   = r² * 3,14        | : 3,14
   382,16 = r²
    19,54  = r
   d = 2 * 19,54 = 39,08 cm

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 3

Frau Kugler will sich ein neues Auto kaufen. Der Wagen kostet laut Liste
gebrauchtwagen25 000 €. Bei ihrem Händler erhält sie einen Preisnachlass von 8 %.

  1. Wie viel bezahlt Frau Kugler für den Wagen bei ihrem Händler?
  2. Drei Jahre nach dem Erwerb des Autos geht Frau Kugler für ihre Firma nach Indien. Sie verkauft deshalb ihr Auto und erhält 40 % weniger als sie dafür bezahlt hat. Zu welchem Preis verkauft sie ihr Auto?

Lösung

a) Kaufpreis bei 8 % Nachlass
  100 % = 25 000 €
     92 % =25 000 / 100 * 92 = 23 000 €
b) Verkaufspreis nach 3 Jahren
   100 % - 40 % = 60 %
   100 % = 23 000 €
     60 % = 23 000 : 100 * 60 = 13 800 €

zurückQA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 4

QA-2008-b-II-4

Im Rahmen eines deutsch-polnischen Schulprojektes werden in einem Pausenhof 9 Sitzgelegenheiten aufgestellt. Diese sollen von den Schülern farbig gestrichen werden. Die Sitzgelegenheiten haben die Form eines Prismas mit einem regelmäßigen Fünfeck als Grundfläche (siehe Skizze).
Wie viele m2 müssen von den Schülern gestrichen werden, wenn die Sitz- und
Seitenflächen der Körper farbig sein sollen?

QA 2008 b II Loes1Lösung

Höhe des Bestimmungsdreiecks
  1² - 0,59²   = h²
  1  - 0,3481 = h²
     0,6519    = h²        | Wurzel
      0,81      
h

Fläche des Fünfecks oben
  A =  5 * g  *  h   :  2
QA 2008 b II 4 Loes2  A =  5 * 1,18  * 0,81  :  2 = 2,39 m²

Seitenflächen
  A = 5 * Seitenfläche
  A = 5 * 1,18 * 0,5 = 2,95 m²
Gesamtfäche zum Streichen bei 9 Sitzgelegenheiten
  (2,39 + 2,95) * 9 = 48,06 ≈ 48,0 m²

 

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:

0,75 * (42,76 + 8,48 x) - 4,2 * (0,75 - 0,6x) = (-3,4x - 0,6) * 1,8

Lösung

     32,07 + 6,36 x        -       3,15 + 2,52 x   = - 6,12 x - 1,08
                  28,92 + 8,88 x                          = - 6,12 x - 1,08
                                        x                          = -2

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 2

Durch die Freisetzung von Kohlenstoffdioxid (CO2) bei der Verbrennung fossiler Rohstoffe heizt sich unsere Erdatmosphäre immer mehr auf.

QA-2008-b-III-2

a) Um wie viel Prozent nahm der weltweite CO2-Ausstoß von 1990 auf 2005 zu?
b) Wie hoch war der CO2-Ausstoß in China 1990 in Millionen Tonnen?
c) Wie viele Millionen Tonnen CO2 wurden in Deutschland im Jahr 2005
   weniger ausgestoßen als im Jahr 1990?

Lösung

a) Weltweiter Anstieg des CO2-Ausstoßes
   Anstieg von 1990 auf 2005 in Mio. t
   27,3 - 21,6 = 6,7 Mio. t
   Anstieg in Prozent
    100 % = 21,6 Mio. t
       1 % = 0,216 Mio. t 
   5,7 : 0,216 = 26,3.  26 %

b) CO2-Ausstoß in China 1990
    Jahr 2005: 208 % → 4 770 Mio. t
    Jahr 1990  100 %  4 770 : 208 * 100 = 2 293,2 ≈ 2 293 Mio. t
c) Rückgang in Deutschland von 1990 auf 2005
   Jahr 2005:  100 % - 16 % = 84 %
                      84 % = 865 Mio. t
                      16 % = 865 : 84 * 16 = 164,7 165 Mio. t

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 3

Die Ecken eines Quadrates liegen alle auf einer Kreislinie (siehe Skizze).

QA 2008 b III 3

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt 78,5 cm².
Berechne den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.


 Lösung

Radius des Kreises in cm:
AKreis = r² * 3,14
78,5   = r² * 3,14   | : 3,14
   25   = r²            |
     5   =
r

Seitenlänge a des Quadrats
QA 2008 b III 3 Loes Da sich die Diagonalen eines Quadrates im rechten Winkel schneiden, kann die Seite a mit dem Satz des Pythagoras berechnen (s. Skizze rechts).

a² = 5² + 5²
a² =    50            |
a  = 7,071... ≈ 7,07

Flächeninhalt des Quadrats in cm2:
  A = a * a
  A = 7,07 * 7,07 = 49,9849 ≈ 50  cm²
Flächeninhalt der grau eingefärbten Fläche
A = Akreis - AQuadrat 
A =  78,5 -    50        = 28,5  cm²

zurück QA 2008 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 4


Eine kleine Ortschaft in Spanien mit 250 Haushalten hat ein Speicherbecken
qa-2008-III-4
angelegt, um in Dürremonaten daraus Wasser entnehmen zu können. Das
Becken fasst 4,5 Millionen Liter Wasser.
a) Wie viele Liter Wasser stehen pro Haushalt im Becken zur Verfügung?
b) Wie viele Liter Wasser stehen jedem einzelnen Haushalt täglich zur
   Verfügung, wenn mit Dürrezeiten von 30, 60, 90 oder 120 Tagen gerechnet
   werden muss? Berechne die fehlenden Werte:

angenommene
Dürretage
30 60 90 120
tägllche Wassermenge
pro Haushalt in Liter
600 l 300 l 200 l 150 l


Trage die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein und zeichne den zugehörigen Graphen.
Rechtswertachse:  10 Tage   → 1 cm
Hochwertachse:    100 Liter  → 1 cm

Lösimg

a) Liter pro Haushalt:
   4 500 000 : 250 = 18 000
b) Tabellenwerte:
    30 d → 18 000 : 30 = 600 l
    60 d  18 000 : 60 = 300 l
    90 d  18 000 : 90 = 200 l
  120 d  18 000 : 120 = 150 l

c)
QA 2008 b III 4 Loes

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