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Mathe-Quali 2011 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

zurück QA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 1

  1. Löse die Gleichung:

0,25 • (x + 4) + (4x − 8) • 0,5 = −2 • (16 − 5x) − (6 − 3,5x) − 2,5x

Lösung

   0,25 x  + 1  +      2x  − 4      =    - 32  + 10 x   -  6 + 3,5 x  − 2,5 x
                   2,25 x - 3            =     11 x − 38                      | + 38
                   2,25 x + 35          =     11 x                             |  − 2,25 x
                                35          =       8,75 x                         | : 8,75
                                  4          =              X

zurück QA, 2011 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 2

  1. Sven möchte sich ein gebrauchtes Auto für den Aktionspreis von 3800 € kaufen. Er spart monatlich seit eineinhalb qa.2011-b-I-2bJahren 75 € von seinem Lohn.
    1. Wie viele Euros fehlen ihm, um sich das Auto kaufen zu können?
    2. Seine Eltern haben seit 11 Monaten 2000 € für ihn auf einem Konto zum Zinssatz von 1,8 % angelegt. Welchen Betrag kann er insgesamt von diesem Konto inklusive Zinsen für den Kauf abheben?
    3. Der Aktionspreis gilt nur kurze Zeit und deshalb überzieht er sein Konto um den fehlenden Betrag für 20 Tage. Wie hoch sind die Überziehungszinsen, wenn der Zinssatz bei 12 % liegt?

Lösung

a) Fehlender Betrag in €:
    1 Jahr = 12 Monate
    1,5 Jahre = 18 Monate
    Ersparnis in 18 Monaten
    1 Monat:     75 €
    18 Monate:  75 € • 18 = 1 350

    Fürs Auto fehlen noch:
    3 800 € − 1 350 € = 2 450 €

b) Geld von den Eltern incl. Zinsen nach 11 Monaten
   Jahreszins für 2000 € 
   100 % = 2 000 €
      1,8 % = 2000 € : 100· 1,8  = 36 €
   Zins in 11 Monaten
   12 Monate = 36 €
   11 Monate = 36 € : 12 · 11 = 33 €
   Geld von den Eltern incl. Zinsen
    2 000 + 33 = 2 033 €

c) Eigene Ersparnisse + Geld der Eltern
  
1 350 + 2 033 = 3 383 €

   Von 3800 € fehlen noch:
   3 800 - 3 383 = 417

   Überziehungszinsen für 417 € im Jahr
  
417 : 100 · 12 = 50,04 €
   Überziehungszinsen in 20 Tagen

   50,04 € : 360 · 20 = 2,78 €

zurückQA 2011 - Teil B:Aufgabengruppe I Nr. 3

  1. Berechne die Fläche des Buchstabens:

QA-2011-bI-1b

Lösung

Gelbes X = Rechteck - 2 kl. Dreiecke - 2 gr. Dreiecke

Breite des Rechtecks
   3,54²  +     3,54² = b²
12,5316 + 12,5316 = b²
        25,0632        = b²    | -wurzel
              5,01        = b

Fläche des Rechtecks
7 * 5,01 = 35,07 cm²

Fläche der großen Dreiecke
3,54 * 3,54 / 2  * 2 = 12,5316 cm²

Fläche der kleinen Dreiecke
2,12 * 2,12 / 2 * 2 = 4,4944 cm²

Gelbes X
35,07 - 12,5316 - 4,4944 =  18,044 cm²      

zurück QA 2011 - Teil B:Aufgabengruppe I, Nr. 4

Lösung 

  1. Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A (4,5 | 4) und B (7,5 | 4) ein.
  1. A liegt auf der Geraden g und B liegt auf der Geraden h.  
    Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S (6 | 2,5). Zeichne g und h.

2011 BI 4 Loes1

Punkte A (4,5 | 4) und B (7,5 | 4)

2011 BI 4 Loes2

Punkt S(6|2,5),
Gerade g durch A und S,
Gerade h durch B und S

  1. Trage den Punkt C (6 | 7,5) ein und zeichne die Senkrechte auf die Gerade g durch den Punkt C.
  1. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden g ist M. Bestimme die Koordinaten von M ...

2011 BI 4 Loes3

Punkt C(6 | 7,5) und
Senkrechte durch C zur Geraden g

2011 BI 4 Loes4

Schnittpunkt M der Senkrechten durch C zur
Geraden g; Koordinaten M(3,5 | 5)

...  und zeichne einen Kreis um M mit dem Radius r = MC .

  1. [CS] ist die Seite eines Quadrats. Zeichne dieses Quadrat, dessen Ecken alle auf der Kreislinie liegen.

2011 BI 4 Loes5
Kreis um M mit dem Radius r=[MC]

2011 BI 4 Loes6
Strecke [CS] als Seite des Quadrates,
dessen Ecken auf dem Kreis um M liegen

zurück QA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe II - Aufgabe 1

  1. Löse folgende Gleichung:
    QA-2011-bII-1     

 Lösung

Beide Seiten mit Hauptnenner 10 multiplizieren
5x + 20 − 6x + 24 − 230 − 10x = 25x − 175 − 20      
        - 11 x − 186                    =  25 x    − 195           | + 11 x
                  - 186                    =  36 x     - 195            | + 195 

                         9                   =  36x                         | : 36
                      0,25                  = x

zurück QA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 2

  1. Zeit für Kommunikation im Internet:
    QA-2011-bII-2
    1. Von insgesamt 1120 Befragten sind 12,5 % zwischen 14 und 19 Jahre alt. Wie viele davon verbringen die überwiegende Zeit im Internet mit Kommunikation?
    2. Wie viel Prozent der 20- bis 29-Jährigen verbringen mehr als die Hälfte ihrer Internet-Zeit mit Kommunikation?

Lösung 

a) Anzahl der 14- bis 19-Jährigen:
    100 %  = 1120
        1 %  = 11,2
     12,5 % = 11,2• 12,5 % = 140

    30 % von 140
    140 : 100 * 30 = 42

b) Anteil der 20- bis 29-Jährigen in %:
    11 + 7 = 18 %
    18 % der 20- bis 29-Jährigen verbringen mehr als die Hälfte der Internet-Zeit mit Kommunikation.

2011 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 3zurück

  1. Ein Mann besitzt sechs Schlittenhunde. Der Futterbedarf für einen qa-2011-b-II-3bSchlittenhund beträgt 14 kg Trockenfutter pro Woche.
    1. Wie viele 15-kg-Säcke Futter zu je 40 € kauft der Hundebesitzer in einer Woche für alle seine Hunde?
    2. Ein anderer Hersteller füllt sein Hundefutter in 30-kg-Säcke ab und bietet sie zu je 75 € an. Er verlangt für die Lieferung der Säcke insgesamt 4,50 €.

Berechne, welches der beiden Angebote günstiger ist.

Lösung

a) Anzahl der Futtersäcke:
    6 * 14 = 84 kg für 6 Hunde
    84 : 15 = 5,6 → 6 Säcke
b) Preis der 15-kg-Säcke in €:
    6 • 40 = 240
    Anzahl der 30-kg-Säcke:
     6 • 14 : 30 = 2,8 → 3 Säcke
    Kosten für die 30-kg-Säcke und Lieferung in €:
    3 • 75 + 4,50 = 229,50
Das Angebot für die 30-kg-Säcke ist günstiger.

zurückQA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe II

  1. Berechne das Volumen des Körpers.QA-2011-bII-4

Lösung

Den aufgesetzten Viertelkreis kann man so drehen, dass ein "Haus mit Dach" entsteht.

Breite des Hauses (Pythagoras)
  3,3²  +   3,3² = b²
10,89 + 10,89 = b²
     21,78        = b²        | Wurzel
      4,67        = b

Volumen des Quaders
V =    G      * h
V = 4,67 * 3 * 5 = 70,05 cm³

Volumen des Dreiecksprismas
V =      G           * h     QA-2011-bII-4b
V = 3,3 * 3,3 / 2  * 3 = 16,335 cm³

Gesamtvolumen
16,335 + 70,05 = 86,385 cm³

zurück 2011 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 1

  1. Im Rahmen eines Projekts bereiten Schüler Fruchtspieße vor.

Sie benötigen dafür vier Äpfel weniger als Birnen, halb so viele Mangos wie Birnen und dreimal so viele Kiwis wie Äpfel. Insgesamt kaufen sie 39 Früchte. Wie viele Früchte von jeder Sorte kaufen die Schüler?
Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung


      4b-b          4b-a        4b-m           4b-k
QA-2011-bIII-1b
         birnen        +   birnen - 4     + 0,5 brinen  + (birnen - 4) * 3  = 39
         2,5 birnen                 - 4                         +  3 birnen - 12   = 39
         5,5 birnen                 - 16                                                = 39   | + 16
         5,5 birnen                                                                      =  55  | : 5,5
             birnen                                                                        = 10

Birnen   = 10
Äpfel     = 10 + 4 = 14
Mangos = 10 : 2 = 5
Kiiwis    = (10 - 4) * 3 = 18  

Statt des Namens birnen kann man auch die Variable x verwenden!

zurück QA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr.2

  1. Der Gärtner Kindla hat einen Rosenstand auf dem Markt. Der Selbstkostenpreis pro Rose beträgt 0,80 €. Herr Kindla kalkuliert mit einem Gewinn von 75 %. Bis 16.00 Uhr hat er 220 Rosen verkauft. Die restlichen 20 Rosen verschenkt er.

a) Berechne den Verkaufspreis einer Rose.
b) Berechne den Gesamtgewinn in Prozent.

Lösung

2011-rose
a) Verkaufspreis in €:

  100 % = 0,80 €
   175 % = 0,80 : 100 * 175 = 1,40 €
b) Gesamtgewinn in €:
    Einkaufspreis für 240 Rosen: 240 • 0,80 = 192 
    Einnahmen für 220 Rosen:     220 • 1,40 = 308
    Gewinn in € 308 − 192 = 116
   Gesamtgewinn in %:
   100 % = 192 €
       1 % = 1,92 €
     116 : 1,92 = 60,416... » 60,42 %

zurückQA QA-2011-bIII-32011 - Teil B:Aufgabengruppe III, Nr. 3

  1. Passt die Pyramide mit quadratischer Grundfläche durch die kreisförmige Öffnung (siehe Skizze)? Begründe rechnerisch.

UKreis = 20,41 cm

VPyramide = 70 cm³

hPyramide = 8,4 cm

Lösung

Wenn der Kreisdurchmesser größer als die Diagonale der Grundfläch der Pyramide ist, passt sie durch die Öffnung.

Durchmesser des Kreises
d = 20,41 : 3,14 = 6,5 cm

Quadr. Grundfläche der Pyramide
V =    G     : 3  * h
QA-2011-bIII-3b70 =   G     : 3 * 8,4    | * 3 : 8,4
25 = G

Seitenlänge des Quadrates
Wurzel(25) = 5 cm
Diagonale des Quadrates
d² = 5² + 5²
d² = 50         | Wurzel

d  = 7,07 cm
Die Pyramide passt nicht durch die Öffnung, weil der Kreisdurchmesser kleiner als die Diagonale  der Pyramidengrundfläche ist.

 

zurück QA 2011 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 4

  1. Personenbeförderung: Flug-Passagiere aus DeutschlandQA-2011-bIII-4b
    1. Um wie viel Prozent nahm die Zahl der Passagiere aus Deutschland in andere europäische Länder von 2002 auf 2009 zu?
    2. Berechne die höchste jährliche Zunahme an Flug-Passagieren aus Deutschland in die Vereinigten Staaten von Amerika.
    3. 2009 betrug die Anzahl der Flug-Passagiere aus Deutschland nach Asien 9,24 %. Wie viele Passagiere flogen nach Asien?
    4. Stelle in einem Säulendiagramm die Anzahl der Flug-Passagiere im Jahr 2009 für Europa, Afrika und die Vereinigten Staaten von Amerika dar.(10 Millionen Passagiere entsprechen 1 cm.)

Lösung

a) Zunahme des Passagier-Aufkommens aus Deutschland
    in andere europäische Länder in %:
   100 % = 35 687 764
       1 % = 356 877,64
   15 788 698 : 356 877,64  = 44,241... ≈ 44,2
%
b) Höchste jährliche Zunahme:
    5 873 993 − 5 270 231 = 603 762 Passagiere
c) Anzahl der Flug-Passagiere nach Asien 2009:
  100 % = 67 206 914
     1 % = 672 069,14
 9,24 % = 672 069,14 * 9,24 = 6 209 918,854  6 209 919 Passagiere
d) Säulendiagramm:

 Europa: 5,1 cm; Afrika: 0,3 cm; USA: 0,6 cm

QA-2011-bIII-4c


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