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Mathe-Quali 2015 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

 

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. I/1

 1 .Eine Schule kauft 86 Stühle in drei verschiedenen Farben.

Die Anzahl der roten Stühle ist halb so groß wie die Anzahl der grünen Stühle.
Von den weißen Stühlen werden 44 weniger gekauft als von den grünen Stühlen.

Wie viele rote, grüne und weiße Stühle werden jeweils gekauft? Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

 2015 B 1a Loes

Für die Zahl der grünen Stühle soll die Variable g verwendet werden.
    rote Stühle = 0,5 * g (rüne Stühle)

weiße Stühle = g (rüne Stühle) - 44

2015 B 1b Loes

0,5 g + g + g – 44 = 86
      2,5 g        – 44 = 86     | + 44
      2,5 g                 = 130   | : 2,5
            g                  = 52

Grüne Stühle: 52 Stück
Rote Stühle: 52 * 0,5 =  26 Stück
Weiße Stühle:  52 – 44 = 8 Stück

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. I/2

 2.  ln zwei Geschäften wird das neue Modell eines Fernsehgerätes angeboten. ln den
     Angebotspreisen sind jeweils 19 % Mehrvertsteuer (Mwst.) enthalten:

2015 B I 2

a) Berechne den zu zahlenden Preis bei Angebot A.

 Preis bei Angebot A
  100 % = 999 €

     15 % = 999 € : 100 * 15 = 149,85 €
     Preis bei 15 % Rabatt: 999 € - 149,85 € =849,15  €

b) Um wie viel Prozent erhöht sich bei Ratenzahlung der ursprüngliche Preis bei Angebot B?

Preis bei 10 Raten zu je 110 €:

10 * 110 € = 1 100 €
Mehrpreis: in Euro
1 100 € - 949 € =151 €
Mehrpreis in Prozent:
949  €        = 100 %
9,49 €        =      1 %    151 : 9,49 = 15,9 ≈ 16 %

c) Wie hoch ist der Preis eines weiteren Fernsehgerätes ohne 19 % MwSt.,
    wenn der zu zahlende Preis mit MwSt. 979,- € beträgt?

Preis ohne MWSt
    119 % = 979 €
         1 % = 979 : 119 = 8,22689 €
    100 % = 8,22689 * 100 = 822,69 €

Angaben ohne Gewähr

 

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. I/3

 3. Aus einem regelmäßigen sechsseitigen Prisma wird ein Keil herausgeschnitten.
    Berechne die Oberfläche des dargestellten Körpers (siehe Skizze).

2015 B I 3

 

 

 

 

Maße in cm
Hinweis:
Skizze nicht maßstabsgetreu

 

Lösung

2015 B I 3 Loes M

 Der Mantel hat eine Länge von 7 * 30 cm = 210 cm und ist 150 cm breit.
M = U * hk
M = 210 * 150 = 31 500 cm²

Die 2015 B I 3 Loes AVorderseite besteht aus 5 gleichseitigen Dreiecken mit einer Grundlinie von 30 cm.
Da das gelbe Dreieck rechtwinklig ist (s. Abb. rechts), kann man die Höhe eines Dreiecks über den Satz des Pythagoras berechnen.
30²     = 15² + h²
900    = 225 + h²    | - 225
675    =            h²    | √  
25,98 =           h

Vorderseite
AVorderseite =     g * h : 2      * 5
AVorderseite = 30 * 25,98 : 2  * 5 = 1 948,5 cm²

Oberfläche
O = 2 * AVorderseite  + Mantel
O = 2 *    1 948,5    + 31 500 = 35 397 ≈ 35 400 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. I/4

4. Aus einer mit 150 I Wasser gefüllten Wanne fließen pro Minute 20 I Wasser ab.

a) Übertrage folgende Wertetabelle und ergänze sie.

Vergangene Zeit
in Minuten
0,5 ? 5,5
Restliche Wassennenge
in der Wanne
? 90 ?

Rest nach 0,5 Minuten
  - Inhalt zu Beginn:      150 l
  - Abfluss in 1 Minute:   20 l
  - Abfluss in 0,5 min:      20 l * 0,5 = 10 l

  - Rest nach 0,5 min:   150 l - 10 l = 140 l

Vergangene Zeit bei 90 l Rest
   - Abgeflossen sind: 150 l - 90 l = 60 l
   - Für 20 l:                       1 Minute  
   - Ffür 60 l:  60 l : 20 l = 3 Minuten

Rest nach 5,5 Minuten
  
Abfluss in 1 Minute:      20 l

   Abfluss in 5,5 Minuten: 20 l * 5,5 = 110 l
   Rest nach 5,5 Minuten: 150 l - 110 l = 40 l

Vergangene Zeit
in Minuten
0,5 3 5,5
Restliche Wassennenge
in der Wanne
140 90 40

b) Stelle diesen Sachzusammenhang in einem Koordinatensystem grafisch dar.
     Rechtswertachse: 1 Minute = 1 cm
     Hochwertachse: 10 Liter  = 1 cm

Diagramm

2015 B I 4b Loes

c) Aus einem mit 3 000 I Wasser gefüllten Gartenpool fließen pro Minute 40 I ab.
     Wie viele Stunden dauert es, bis der Pool leer ist?

Zeit, bis 3 000 l abgeflossen sind
    Für     40 l:                              1 min
    Für 3 000 l:    3 000 : 40 = 75 min = 1 h 15 min = 1,25 h

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. II/1

 1. Löse folgende Gleichung:

2015 B II 1    | * 6

Lösung

2015 B II 1    | * 6
   66 x - 21 * (2 x - 4) = 24 * (x + 6) - 9 x + 48   | Klammern auflösen
   66 x -   42 x   +  84  =  24 x + 144 - 9 x + 48   | Seiten vereinfachen
         24 x        +  84  = 15 x + 192   | - 84
         24 x                  = 15 x + 108   | - 15 x
          9 x                   =            108   | : 9
             x                   = 12  

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. II/2

Lösung

  1. Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
  1. Trage die Punkte B (4 | 1) und D (1 | 2,5) ein.
  1. Die Punkte B und D sind die Eckpunkte einer Raute ABDC.
    Eine Seitenlänge der Raute beträgt 5 cm. Zeichne die Raute.
2015 B II 2 Loes1
Koordinatensystem mit B[4|1 und D[1|2,15]

2015 B II 2 Loes2
Teilkreis um B mit r = 5 cm, da die
Ecken A und C 5 cm von B entfernt sind
,
2015 B II 2 Loes3
Teilkreis um D mit r = 5 cm. Die Ecken A und C
sind die Schnittpunkte der
beiden Teilkreise
2015 B II 2 Loes4
A, B, C und D zu der Raute ABCD verbinden

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. II/3

 3. Durchschnittliche Ausgaben in Deutschland für Urlaubsreisen
    in den Jahren 2013 und 2014

2015 B II 3

a) Um wie viel Prozent veränderten sich die Ausgaben für einen Urlaub innerhalb
     Deutschlands von 2013,auf 2014?

 Veränderung in Euro:
     1 702 € - 1 521 € = 181 €
 Veränderung in Prozent:
     100 % = 1 702 €
          1 % = 1 702 € : 100 = 17,02 €
       181 € : 17,02 € = 10,634 .. ≈ 10,63
        Die Ausgaben veränderten sich um 10,63 %.

b) Stelle die Ausgaben für Urlaubsreisen innerhalb Deutschlands und ins übrige
     Europa sowie für Reisen in Länder außerhalb Europas für das Jahr 2013 in
     einem Kreisdiagramm anteilig dar (Radius 3 cm).

Gesamtausgaben für Urlaubsreisen im Jahr 2013
     1 702 € +2 292 € + 3 936€ = 7930 €
    7 930 €: 360°
             1 €: 360° : 7 930
    1 702 €: 360° : 7 930 * 1 521 = 77,2 ...° ≈ 77°
    2 292 €: 360° : 7 930 * 2 292 = 104,05 ...° ≈ 104°
    3 936 €: 360° : 7 930 * 3 936 = 178,6 ...° ≈ 179°
2015 B II 3 Loes

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. II/4

2015 B II 4

 Die Theatergruppe einer Mittelschule druckt für das Bühnenbild einfache
achsensymmetrische Blumen (siehe Skizze) auf Stoff.
Berechne den Flächeninhalt einer solchen Blume.

Maße in mm

Hinweis:
Skizze nicht maßstabsgetreu

2015 B II 4 Loes

 Lösung

Flächeninhalt des Kreises
A = r * r * 3,14
 r  = 160 mm : 2 = 80 mm
A = 80 * 80 * 3,14 =20 096 mm²

Flächeninhalt des Rechtecks
A = a * b
      a = 40
      b = 360 - 160 =220

A = 40 * 220 = 8 800 mm²

Flächeninhalt der Dreiecke
   Grundlinie eines Dreiecks:
   (160 - 40 ) : 2 = 60 mm
   Höhe eines Dreiecks (Pythagoras):
      90² = h² + 60²
   8100 = h² + 3600       | - 3600
   4500 = h²                    | √

   √4500 = 67,082... ≈ 67,1 mm
   Fläche der 2 Dreiecke:
    60 * 67,1 : 2 * 2 = 4 026 mm²

Gesamtfläche
   20 096 mm² + 8 800 mm² + 4 026 mm² = 32 922 mm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. III/1

 Löse folgende Gleichung.

28x - 60,5 - (11x - 182) = 6 * (5 - 0,25x) + 3 * (2x + 58)

Lösung

28x - 60,5 - (11x - 182) = 6 * (5 - 0,25x) + 3 * (2x + 58)       | Klammern auflösen
28 x -  60.5 -  11 x + 182 =    30  - 1,5 x      +     6 x  + 174   | Seiten zusammenfassen
          17 x    + 121,5        =              204  + 4,5 x                   | - 4,5 x
          12,5 x + 121,5        =              204                                | - 121,5 
           12,5 x                     =               82,5                             |  : 12,5
                   x                      =                6,6 

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. III/2

2 a) Zeichne ein regelmäßiges Neuneck.,Die Länge der Basisseite  a beträgt 4 cm.
   b) Zeichne in das regelmäßige Neuneck ein gleichseitiges Dreieck, dessen
       Eckpunkte auch Eckpunkte des regelmäßigen Neunecks sind.

Lösun

Basiswinkel des Bestimmungsdreieck berechnen
  Mittelpunktswinkel:    360° : 9          = 40°

  Basiswinkel:               (180° - 40°) : 2 = 70°

2015 B III 2 Loes1
Basisseite a zeichnen und
ersten Basiswinkel abtragen

2015 B III 2 Loes2

Zweiten Basiswinkel abtragen

2015 B III 2 Loes3
Der Schnittpunkt M der beiden Winkelschenkel ist
der Mittelpunkt des Umkreises des Neunecks.
2015 B III 2 Loes4
Weitere Ecken des Neunecks durch
Teilkreise bestimmen (r = 4 cm)
2015 B III 2 Loes5
Die Schnittpunkte zu Neuneck verbinden
2015 B III 2 Loes6
Gleichseitiges Dreieck ins Neuneck zeichnen

gaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil  B - Lösungen: Nr. III/3

 Berechne das Volumen des symmetrischen Körpers.

2015 B III 3
Maße in cm
Hinweis: Skizze ist nicht maßstabsgetreu

Lösung
2015 B III 3 Loes a

 Länge der Kathete in cm (Pythagoras):
√(52 -32) = √(25 -9) =√16 = 4

Volumen der beiden dreiseitigen Prismen in cm³:
V2 Prismen = 2 *        A    *    hk
V2 Prismen = 2 * ½ * 4 * 3  * 6  =
                 = 2 *    6        * 6        =
                 = 2 *       36               = 72
2015 B III 3 Loes b

Volumen des Quaders in cm³

8 * 12 * 6 = 576



Gesamtvolumen
in cm³

576 + 72 = 648

 

 

 

 

 

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2015, Teil B - Lösungen: Nr. III/4

  4. Menschen leben in ihren Haushalten entweder alleine, zu zweit oder mit mehreren
     Personen zusammen (siehe Tabelle):

  1991 2013
Haushalte in Deutschland insgesamt: 35 256 000 39 933 000
Haushalte nach Größe:    
Einpersonenhaushalte 33,6 % 40,5 %
Zweipersonenhaushalte 30,8 % 34,4 %
Dreipersonenhaushalte 17,1 % 12,5 %
Haushalte mit vier oder mehr Personen 19,5 % 12,6 %

Quelle: nach Statistisches Bundesaml 2014

a) Berechne den prozentualen Anstieg der Haushalte in Deutschland insgesamt
     von 1991 bis 2013.

 Anstieg der Haushalte:
     39 933 000 - 35 256 000 = 4 677 000
 Anstieg in Prozent:
      100 % = 35 256 000 Haushalte
           1 % = 35 256 000 : 100 =352 560 Haushalte
       4 677 000 : 352 560 = 13,265... ≈ 13,27 %

b) Wie viele Dreipersonenhaushalte gab es 2013 und wie viele Menschen lebten i
     nsgesamt darin? Berechne.

 Zahl der Dreipersonenhaushalte 2013
    39 933 000 : 100 * 12,5 = 4 991 625 Haushalte
Menschen in Dreipersonenhaushalten 2013

     4 991 625 * 3 = 14 974 875 Personen

c) Stelle die prozentuale Verteilung der verschiedenen Haushalte für das Jahr 2013
     in einem Balkendiagramm dar (10 %  = 1 cm).

     Balkendiagramm der Verteilung der Haushalte für 2013

   2015 B III 4 Loes

Angaben ohne Gewähr

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