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Mathe-Quali 2014 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. I/1

  1. 2014 BI 1Für das Sommerfest ihrer Schule kaufen die Schülersprecher insgesamt 120 Flaschen Getränke.

Sie besorgen halb so viele Flaschen Orangensaft wie Apfelsaft und siebenmal so viel Mineralwasserflaschen wie Apfelsaftflaschen. Außerdem kaufen sie vier Flaschen mehr Birnensaft als Orangensaft und noch acht Flaschen Kirschsaft.

Wie viele Flaschen kaufen sie? Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung:

2014-B-I-1-Loes 
0,5 a +     a    +                  7 a                                  +  0,5 a+4    +  8  = 120
                                           9 a                                            +   12  = 120  | - 12
                                           9 a                                                       = 108   | : 9
                                              a                                                       =  12

Es sind
12 Flaschen Apfelsaft         (= a),   
  6 Flaschen Orangensaft    (= 0,5 a),
84 Flaschen Mineralwasser  (= 7 a),
10 Flaschen Birnensaft        (= 0,5 a + 4).
  8 Flaschen Kirschsaft

Statt der Variablen a für die Zahl der Flaschen Apfelsaft ist auch x möglich.

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. I/2

 

2014-B-I-2

  1. Aus einem Quader wird ein dreiseitiges Prisma ausgeschnitten (siehe Skizze).
    Berechne das Volumen des Restkörpers. 

   
    Maße in cm - Skizze nicht maßstabsgetreu!









Lösungsweg
2014-B-I-2-Loes1  1. Fehlende Kante des Dreiecksprismas berechnen
 
2. Volumen des Quaders berechnen
  3. Volumen des Dreiecksprismas berechnen
  4. Restkörper = VQuader - VDreiecksprisma

1. Fehlende Kante des
    ausgeschnittenen
    Dreiecksprismas


       
    Satz des Pythagoras.
    Kante = √(10² - 6²) =
            
= √(100 - 36) =
             = √64            = 8
2. Volumen des Quaders2014-B-I-2-Loes3
    Höhe des Quaders
    3 + 8 = 11 [cm]
    Volumen des Quaders

    V = 12 * 12 * 11 =
       =      1584 [cm3]

3. Volumen des
    ausgeschnittenen
    Dreicksprismas

       
    V =     G       * hk

    V = 6 * 8 / 2 * 12 =
       =    24        * 12 =
       =        288 [cm3]

4. Volumen des Restkörpers in cm³

    V = VQuader - VDreiecksprisma
    V =   1584  -    288    =
       =         1296 [cm3]

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. I/3

  1.  Herr Müller hat 56 000 Euro zur Verfügung. Für den Kauf einer neuen Wohnungseinrichtung verwendet er 3/8 des Geldes. Seinem Freund leiht er 12 000 €. Den Rest legt er im Januar auf einem Sparkonto an, das mit 0,6 % jährlich verzinst wird.

a) Wie viel gibt er für die Wohnungseinrichtung aus?
b) Welchen Stand hat das Sparkonto, wenn es nach 9 Monaten
    aufgelöst wird?
c) Sein Freund zahlt ihm nach einem Jahr 12 150 € zurück.
    Welchen Zinssatz hatten beide vereinbart?

Lösung

2014-B-I-3-Loes

a) Ausgaben für die Wohnungseinrichtung
      56 000 € : 8 * 3 = 21 000 €

b) So viel legt er auf dem Konto an:
      56 000 € - 21 000 € - 12 000 € =  23 000 €
      Zins für 23 000 € in 1 Jahr
      23 000 € : 100 * 0,6 = 138 €
      Zins in 9 Monaten
      138 € : 12 * 9 = 103,50 €
      Kontostand nach 9 Monaten
      23 000 € + 103,50 € = 23 103,50 €

c) Mit dem Freund vereinbarter Zinssatz
      Zins in Euro
      12 150 €  - 12 000 € = 150 €
       Zins in Prozent
      100 % = 12 000 €
          1 % = 12 000 € : 100 = 120 €
     150 € : 120 € = 1,25
     Es wurden 1,25 % Zinssatz vereinbart.

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. I/4

  1.  Auf einer Baustelle wird ein Aushub von 73 m³ abtransportiert. Eine Fahrt umfasst den Weg von der Baustelle zur Entladestelle und zurück und dauert für beide LKW-Typen (siehe Skizze) gleich lang. Die Zeiten für das Be- und Entladen sollen nicht berücksichtigt werden.

2014-B-I-4

a) Wie oft muss ein LKW vom Typ A für den Abtransport des Aushubs fahren?
b) Der LKW-Fahrer des Wagens A benötigt für diese Fahrten insgesamt
    4 Stunden und 48 Minuten. Wie viele Minuten dauert eine Fahrt?
c) Wie viel Zeit könnte der Bauunternehmer für den Abtransport des Aushubs
    einsparen, wenn er einen LKW vom Typ B einsetzt?

Lösung: 

a)Anzahl der Fahrten2014-B-I-4-Loes1
   73 : 9,8 = 7,44 → 8 Fahrten

b) Dauer einer Fahrt in Minuten
    4 h 48 min = 4 * 60 min + 48 min = 288 min
    8 Fahrten: 288 min
    1 Fahrt:     288 min : 8 = 36 min

c) Anzahl der Fahrten mit LKW Typ B2014-B-I-4-Loes2
    73 : 13,1 = 5,57  → 6 Fahrten
    Dauer von 6 Fahrten mit LKW Typ B
    1 Fahrt:     36 min
    6 Fahrten: 36 min * 6 = 216 min
    Ersparnis in Minuten
    288 min - 216 min = 72 min

Angaben ohne Gewähr 

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. II/1

  1. Löse die Gleichung:

(3,2 – 3,75 x) : 0,5 – 1,75 x = 0,25 * (12,2 x – 0,8) – (9,3 x – 3,3)

Lösung

(3,2 – 3,75 x) : 0,5 – 1,75 x = 0,25 * (12,2 x – 0,8) – (9,3 x – 3,3)
       Klammern auflösen
       6,4 - 7,5 x      -  1,75 x  =     3,05 x       – 0,2   – 9,3 x + 3,3
       Seiten vereinfachen
       6,4     -      9,25 x          =      -6,25 x   +   3,1                      | + 9,25 x
       6,4                                =             3 x   +   3,1                     | -3,1
       3,3                                =             3 x                                  | : 3
       1,1                                =               x

 

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. II/2

  1.  Frau Ohlmüller kauft Geburtstagsgeschenke für ihre Kinder.
    a) In einem Bekleidungsgeschäft findet sie folgendes Angebot:
    Auf diese Preise: 15 % Rabatt
  Hose:
Jacke:
Gürtel:
Hemd:
48,00 €
69,90 €
16,00 €
35,20 €

Beim Kauf von mindestens zwei Artikeln werden auf den verbilligten Preis nochmals 5 % Ermäßigung gewährt. Für ihren Sohn kauft sie eine Hose und einen Gürtel.
Was kosten Hose und Gürtel zusammen?

b) In einem Online-Shop kauft sie für ihre Tochter ein Brettspiel,
    das von 44,50 € auf 35,60 € reduziert wurde.
    Berechne den Preisnachlass in Prozent.

c) Zusätzlich bestellt sie beim Online-Shop eine Kartenspiel für 5,90 €.
    Frau Ohlmüller erhält 2 % Skonto und muss keine Versandkosten bezahlen.
    Wie viel muss sie für ihren gesamten Einkauf an den Online-Shop überweisen?

Lösung

a) Regulärer Preis für Hose und Gürtel2014-B-II-2-Loes1
    48 € + 16 € = 64 €
    Preis bei 15 % Rabatt
   100 % = 64 €
     85 % = 64 € : 100 * 85 = 54,40 €
   Preis bei weiteren 5 % Ermäßigung
   100 % = 54,40 €
     95 % = 54,40 € : 100 * 95 = 51,68 €

b) Preisnachlass für das Brettspiel in Euro
   44,50 € - 35,60 € = 8,90 €2014-B-II-2-Loes2
   Preisnachlass in Prozent
   100 % = 44,50 €
       1 % = 44,50 € : 100 = 0,445 €
   8,90 : 0,445 = 20
   Der Preisnachlass beträgt 20 %.

c) Gesamtpreis im Online-Shop für Brett- und Kartenspiel2014-B-II-2-Loes3
    35,60 € + 5,90 € = 41,50 €
     Gesamtpreis bei 2 % Skonto
     100 % = 41,50 €
       98 % = 41,50 € : 100 * 98 = 40,67 €

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. II/3

  1. Der Flächeninhalt des Halbkreises beträgt 3,5325 cm².
    Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu!

2014-B-II-3
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Lösung

2014-B-II-3-Loes1    Zur Berechnung der Fläche benötigt man die Grundlinie und die Höhe.

1. Länge der Grundlinie
    Diese setzt sich aus den 8 cm und dem
    Durchmesser des Halbkreises zusammen.
    Der wird so berechnet:
    • Fläche ganzer Kreis: 3,5325 * 2 = 7,065
    • Radiusquadrat: 3,5325 : 3,14 = 2,25
    • Radius: √2,25 = 1,5
    • Durchmesser = 1,5 * 2 = 3 cm

2014-B-II-3-Loes22. Höhe des Parallelogramms
    Sie ässt sich über den Satz
    des Pythagoras berechnen.
      3² + h² = 5²
      9  + h² = 25  | - 9
             h² = 16  |  √
             h   = 4

3. Flächeninhalt des Parallelogramms in cm²
    g = 8 + 3 = 11
    A =  g  * h
    A = 11 * 4 = 44

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. II/4

  1. In manchen Ländern wird die Temperatur nicht in der Einheit Grad Celsius (°C) gemessen, sondern in Grad Fahrenheit (°F). Mit folgender Formel kann man beide Maßeinheiten umrechnen:

  F = C * 1,8 + 32  

F: Temperatur in °F             C: Temperatur in °C

a) Berechne die gesuchten Werte der Tabelle unter Verwendung der Formel:

   C:  37°C 10 °C 0 °C - 15 °C
   F: 98,6 °F 50 °F 32 °F  5 °F

b) Trage die Wertepaare der Tabelle in ein Koordinatensystem ein und
    zeichne den entstehenden Grafen.
      Rechtswertachse: 10 °C = 1 cm
      Hochwertachse:    10 °F = 1 cm

Lösung

a) F = 37 * 1,8 + 32
    F =   66,6    + 32
    F =           98,6

    50 = C * 1,8 +32       | - 32
    18 = C * 1,8              | : 1,8
    10 = C

    32 = C * 1,8 +32       | - 32
      0 = C* 1,8               | : 1,8
      0 = C

    F = -15 * 1,8 + 32
    F =    - 27     + 32 
    F =            5

b)  Grafische Darstellung im Koordinatensystem
         2014-B-II-4-Loes  

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. III/1

  1. Löse folgende Gleichung:

2014-B-III-1  

Lösung

2014 B III 1    | * 20 auf beiden Seiten
12 x + 10 - 8 x - 2 = 10 - 5 x + 25  | Beide Seiten zusammenfassen
                 4 x + 8 = 35 - 5 x         | + 5 x
                 9 x + 8 = 35                 | -8
                 9 x       = 27                 | : 9
                    x       = 3

 Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. III/2

Lösung 

  1. Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A (-1 | -2) und B (4 | 3,5) ein und verbinde sie zur Strecke [AB].
  1. Der Punkt M halbiert die Strecke [AB]. Trage M ein.

2014 B III 2 Loes1
Koordinatensystem mit A (-1 | -2)
    und B (4 | 3,5) und Strecke [AB]

2014 B III 2 Loes2
Strecke [AB] durch Punkt M halbiert
  1. Die Strecke [AM] ist eine Seite des gleichseitigen Dreiecks AMD. Zeichne dieses Dreieck.
2014 B III 2 Loes3
Zwei Teilkreis um A und M mit dem Radius [AM]


2014 B III 2 Loes4
Schnittpunkt der TeilKreise D mit A und M zu
gleichseitigem Dreieck AMD verbunden
  1. Die Strecken [AD] und [AB] sind Seiten eines Parallelogramms.
    Wähle den Punkt C so, dass das Parallelogramm ABCD entsteht und zeichne es.
2014 B III 2 Loes5
Teilkreis um B mit Radius [AD] und
Teilkreis um D mit Radius [AB]
2014 B III 2 Loes6
Schinttpunkt der beden Teilkreise ist
die fehlende Ecke des Parallelogramms ABCD

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. III/3

  1. Berechne den Flächeninhalt der gesamten schraffierten Fläche (Maße in cm).

2014-B-III-3
Hinweis: Skizze ist nicht maßstabsgetreu.

Lösungsplan

Die schraffierte Fläche setzt sich aus einem Rechteck und dem 4. Teil des Mantels eines Zylinders zusammen.

Länge des Rechtecks
Die Länge des Rechtecks ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
   2014-B-III-3-Loes2

   a² =    33² + 17²
   a² = 1089 + 289
   a² =      1378        |   √
    a =    37,12 cm

Fläche des Rechtecks
2014-B-III-3-Loes4
   A =     a   *  b
   A = 37,12 * 20 = 742,4 cm²
2014-B-III-3-Loes1

Schraffierte Fläche des Viertelzylinders
   Durchmesser des Kreises
   d = 2 * 17 = 34 cm 
   U = d * 3,14 = 106,76 cm

   Länge des Kreisbogens b
   b = 106,76 : 4 = 26,69 cm

   Schraffierte Fläche
   A = 20 * 26,69 = 533,8 cm²

Gesamtfläche
2014-B-III-3-Loes3
533,8 cm² + 742,4 cm² = 1 276,2 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2014, Teil  B - Lösungen: Nr. III/4

 

Durchschnittliche Lebenserwartung in Deutschland (in Jahren)
Geburtsjahrgang Männer Frauen
1910 47,41 50,68
1950 63,95 68,02
1980 69,62 ?
2000 75,04 82,12
2005 76,57 82,10
2010 77,70 82,74

a) Betrachte den Geburtsjahrgang 2000: Um wie viel Prozent ist die
    Lebenserwartung der Frauen höher als die der Männer?
b) Die Lebenserwartung der Frauen der Geburtsjahrgänge von 1980 bis 2010
    ist um 8,63 % gestiegen. Berechne die Lebenserwartung der Frauen
    des Geburtsjahrgangs 1980.
c) Stelle die Lebenserwartung der Männer der Geburtsjahrgänge 1910, 1950
    und 2010 in einem Säulendiagramm dar. (10 Lebensjahre = 1 cm)

Lösung2014-B-III-4-Loes1

a) So viel Jahre lebten die Frauen länger
    im Jahr 2000  als die Männer:
   81,12 - 75,04 = 6,08 Jahre
   So viel Prozent sind das:
   100 % = 75,04 Jahre
      1 % = 0,7504 Jahre
   6,08 : 0.7504  ≈ 8,102... ≈ 8,1 %

2014-B-III-4-Loes2b) 1980 ist der Ausgangspunkt des Vergleichs.
    1980 sind also 100 %.

    Von 1980 bis 2010 betrug der Anstieg 8,63 %.
    Die 82,74 Jahre von 2010 sind also gleich 108,63 %.


   2010:  108,63 % = 82,74 Jahre

                  1,00 % = 82,74 Jahre : 108,63 = 0,7617 Jahre
   1980:  100,00 % = 0,7617 Jahre * 100 = 76,17 Jahre

c) Säulendiagramm
   1910: 47,41 Jahre = 4,7 cm

   1950: 63,95 Jahre = 6,4 cm
2014-B-III-4-Loes   2010: 77,70 Jahre = 7,8 cm

Angaben ohne Gewähr 

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