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Mathe-Quali 2007 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

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QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 1

  1. In der Discothek Moonlight wurde eine Befragung zum Musikgeschmack der qa-2007-I-1aGäste mit folgendem Ergebnis durchgeführt:
    Ein Sechstel der Befragten bevorzugt Metal, ein Drittel der Gäste hört am liebsten Rockmusik. Für Hip Hop stimmten 28 Gäste mehr als für Rockmusik, die restlichen 38 mögen Techno.

    Wie viele der befragten Gäste entschieden sich jeweils für die einzelnen Musikrichtungen?

Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

Gäste = Metal + Rock +  Hip Hop   + Techno
      g  =    g /6  +  g /3  +  g/3 + 28   + 38             | * 6
   6 g  =      g  +   2 g    +  2 g + 396
   6 g =                5 g             + 396                     | - 5 g
      g =                                    396
Es waren 396 Gäste.
Metal-Fans: 396 : 6    =   66
Rock-Fans: 396 : 3    = 132
Hip-Hop:     132 + 28 = 160

Statt der Variablen g für die Zahl der Gäste kann man auch die Variable x verwenden.

Angabenn ohne Gewähr

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 2

Die folgende Tabelle zeigt den Stand der Bevölkerung Bayerns am 30.06.2006:
QA-2007-b-I-2
a) Gib die prozentuale Verteilung der Frauen und Männer in ganz Bayern an.
b) Stelle die Anzahl der Frauen und Männer im Regierungsbezirk Schwaben
   in einem Säulendiagramm dar. (1 cm → 100 000 Einwohner)

Lösung

a) Männeranteil
   12 478 468 - 6 367 721 = 6110747
   Männeranteil in Prozent
 QA-2007-b-I-2b  100 % = 12 478 468
      1 % = 124 784,68
    6 367 721 : 124 784,68 = 48,97 (%)
    Frauen in Prozent
    100 % - 48,97 % = 51,03 %

b) Männer und Frauen in Schwaben
   Männer: 876 156  8,76 cm
   Frauen:  912 002  9,12 cm

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2007: Aufgabengruppe I. Nr. 3

QA-2007-b-I-3Die nebenstehende Figur setzt sich aus einem regelmäßigen Sechseck und einem Halbkreis zusammen.
Der Flächeninhalt des Halbkreises beträgt 25,12 dm2.
Berechne den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks.

Lösung

Ganzer Kreis
25,12 * 2 = 50,24 cm²
Radius des Kreises
   A    = r² * 3,14
50,24 = r² * 3,14   | : 3,14
  16    = r²            | wurzel
    4    = r
QA-2007-b-I-3bKreisdurchmesser: 4 * 2 = 8
Höhe des Teildreiecks:
  h² = 8 * 8 - 4 * 4
  h² =  64   -  16
  h² = 48             | Wurzel
  h  = 6,928
Fläche des Teildreiecks
  A = g * h / 2
  A = 8 * 6,928 / 2 = 27,71 cm²
Fläche des Sechecks
  27,72 * 6 = 166,28 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 4

Maya und Florian sind beide Lehrlinge.
a) Maya erhält monatlich ein Nettogehalt von 407,94 €. Ihre Abzüge betragen
   21,55 %. Berechne Mayas Bruttogehalt.
b) Florian verdient brutto 576 €. Sein Bruttolohn wird um 2,5 % erhöht.
   Berechne sein neues Nettogehalt bei 22,5 % Abzügen.

Lösung

a) Bruttogehalt von Maya
   Nettogehalt in %: 100 - 22,55 = 78,45 %
   78,45 % = 407,94
   100    % = 407,94 : 78,45 * 100 = 520 €
b) Neues Bruttogehalt von Florian
   100 %    = 576 €
   102,5 % = 576: 100 * 102,5 = 590,40 €
   Neues Nettogehalt bei 22,5 % Abzügen
   100 %  = 590,40 €
   77,5 % = 590,40 : 100 * 77,5 = 457,56 €

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:
QA-2007-b-II-1b
Linke Seite:
      Bruch kürzen mit 3,5
      Klammer auflösen
      Bruch kürzen mit 2

Linke Seite:
   Zusammenfassen von x

 





zurück QA 2007: Aufgabengruppe II - Aufgabe 2

Lösung

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte A(-4 | 2) und B (6,5 | - 4)) ein.
    Die Gerade g verläuft durch diese beiden Punkte.

2007 BII 2 Loes1Koordinatensystem mit A(-4 | 2), B(6,5 | -4) und Gerade g durch A und B

a) Die Gerade g schneidet die Rechtswert-Achse im Punkt S. Gib die Koordinaten von S an.
2007 BII 2 Loes2
Schnittpunkt S der Geraden g mit der x Achse: (-0,5 | 0)


b) Zeichne die Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt C (6 | 1).
2007 BII 2 Loes3Punkt C(6 | 1) und Senkrechte durch C zur Geraden g

c) Zeichne zur Geraden g die Parallele p, die durch den Punkt C verläuft.

2007 BII 2 Loes4
Parallele p zur Geraden g durch den Punkt C

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2007: Aufgabengruppe II, Nr. 3

Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche (Maße in cm):
QA-2007-b-II-3

Zwei Senkrechte StäbeQA-2007-b-II-3c
2 *  18,5 * 2 = 74 cm2












Für die waagrechten Stäbe braucht man die Breite innen.
Die kann man mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks innen bestimmen
   Höhe h des Dreiecks
QA-2007-b-II-3b
   18,5 - 4 * 2,0 = 10,5  cm
   Breite b des Dreiecks
      17,52   - 10,52    =  b2
    306,25 - 110,25    = b2
                196         = b²    | √
                  14         = b

Breite eines waagrechten Stabes
2 + 14 + 2 = 18 cm


QA-2007-b-II-3dFläche der beiden waagrechten Stäbe
2 * 18 * 2 = 72 cm²

Gesamte schraffierte Fläche
74 + 72 = 146 cm²

QA 2007 - Teil Bzurück: Aufgabengruppe II, Nr. 4

 Butter und Joghurt sind Milchprodukte.
  1. qa-2007-bII-4Um 50 g Butter herzustellen, benötigt man 1 Liter Milch. Wie viele Liter Milch braucht man zur Herstellung von 80 kg Butter?
  2. Ein Liter Milch ergibt 1 030 g Joghurt. Wie viele Becher mit je 150 g Joghurt können abgefüllt werden, wenn 1 500 Liter Milch verarbeitet werden sollen?

Lösung

a) Benötigte Milch in Liter für 80 kg Butter:
    50 g = 0,05 kg
    0,05 kg → 1 Liter
    80 kg : 0,05 kg  = 1600 (Liter)
b) Joghurtmenge aus 1500 Liter Milch
   1 Liter → 1030 g
    1500 Liter → 1030 * 1500 = 1 545 000 g
    Anzahl der Becher:
    150 g → 1 Becher
    1 545 000 g → 1 545 000 : 150 = 10 300 (Becher)

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:

7,04 * (x - 0,2 : 0,08) - 1,225 x = -800 * (-0,002) + 3 x - 0,125 * (1 + 8 x)

Lösung

7,04 * (x -     2,5     ) - 1,225 x =         1,6           + 3 x - 0,125 - x
     7,04 x   - 17,6      - 1,225 x =       1,475          + 2 x
     5,815 x  - 17,6                    =       1,475          + 2 x                  | - 2 x
     3,815 x   - 17,6                   =       1,475                                    | + 17,6
     3,815 x                               =      19,075                                   | : 3,815
              x                               =       5

zurückQA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 2


QA-2007-b-III-2 
Ein massives Werkstück besteht aus einer Dreieckssäule und einem Quader, aus dem ein Halbzylinder ausgespart wurde (siehe Skizze).
Der Durchmesser des Halbzylinders beträgt 8 cm.
Berechne das Volumen des Werkstücks (Maße in cm).


 

 


 

Lösung

Volumes des Unterteils

VUnterteil  =    VQuader      -  VHalbkreissäule

VUnterteil  = 16 * 10 * 8  -  4 * 4 * 3,14 * 8 : 2
VUnterteil  =     1280       -      200,96 cm3 
VUnterteil  =     1079,04 cm3
QA-2007-b-III-2a

Höhe des Seitendreiecks
h2 = 152 - 92
h2 = 225 - 81
h2 =   144
h  =      12

Volumen des Oberteils
VOberteil = 9 * 12 / 2 * 10
VOberteil = 540 cm3

 Gesamtvolumen
VGes = 1079,04 + 540 = 1619,04 cm3

QA-2007-b-III-2b

 

 







 

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 3

Herr Haller kauft sich einen Roller und einen Schutzhelm.

  1. a)qa-2007 III-3b Für den Kauf des Rollers leiht er sich von der Bank 2100 € für eine Laufzeit von 8 Monaten. Die Bank verlangt dafür einen jährlichen Zinssatz von 8,5 %. Hinzu kommt eine einmalige Bearbeitungsgebühr in Höhe von 2,75 % des Kreditbetrages. Wie viele Euro muss er insgesamt an die Bank zahlen?
  2. Für den Helm erhält er vom Händler 30 % Rabatt auf den Ladenpreis und    bezahlt nur noch 126 €. Berechne den ursprünglichen Ladenpreis des Helms.

Lösung

a) Zinsen für 8 Monate
   Z = 2100 / 100 * 8,5 / 12 * 8 = 119 €
   Bearbeitungsgebühr von 2,75 %
   2100 : 100 * 2,75 = 57,75 €
   Zurückzahlen muss Herr Haller:
   2100 + 199 + 57,75 = 2276,75 €

b) Urpsrünglicher Preis des Helmes
     70 % = 126 €
   100 % = 126 / 70 * 100 = 180 €

Angaben ohne Gewähr

 

zurück QA 2007 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 4

Das oberste Stockwerk einer Kunsthalle hat die Form eines Halbzylinders.

QA-2007-b-III-4

Das gewölbte Dach (siehe Skizze; Maße in m) soll außen mit einer Spezialbeschichtung versehen werden. Diese Beschichtung kostet einschließlich der Arbeitslöhne 160 € pro Quadratmeter.

Der Stadtrat hat in seinem Haushalt 1,5 Mio € dafür bereitgestellt. Reicht dieser Betrag aus?

Lösung

Umfang des Halbkreises
UHalbkreis = d * 3,14 / 2
UHalbkreis = 60 * 3,14 / 2 = 94,2 m

Dachfläche
A = 94,2 + 110 = 10 362 m2

Kosten
10 362 * 160 = 1 657 920 €

Die 1,5 Mio. aus dem Haushalt reichen nicht.

Angaben ohne Gewähr

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