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Mathe-Quali 2009 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

zurück 2009 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 1

  1. Löse folgende Gleichung:
    (27x + 19,2) : 6 − 8,25 = 0,8 • (10 + 0,5x) − (3x − 6) : 4

Lösung

Klammern ausrechnen
  4,5x + 3,2     − 8,25  =   8 + 0,4x          − 0,75x + 1,5
Beide Seiten vereinfachen
  4,5x          − 5,05     =  9,5 − 0,35x                               | + 0,35 x

  4,85 x        − 5,05     = 9,5                                            | +5,05

  4,85 x                       = 14,55                                        | : 4,85

          x                       =    3

zurückQA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe I; Nr. 2

  1. QA-2009-b-1

    Für einen Gartenzaun werden 35 Holzpfosten (siehe Skizze) weiß lackiert. Die beiden schrägen Deckflächen der Pfostens sind gleich groß.Der quadratische Boden der Pfosten wird nicht lackiert. Wie viele m2 müssen insgesamt lackiert werden?








Lösung

Vier Seitenflächen der Rechtecksäule
A = (12 • 120) • 4 = 5760 cm2
Höhe des Dachgiebels
128 - 120 = 8 cm
Zwei Dachgiebel (Dreiecke)
QA-2009-b-I-2b
2 * 12 * 8 /2 = 96 cm2
Seitenlänge einer Da
chfläche
6 2 + 8 2 = s2
36  + 64  = s2

    100     = s2  | Wurzel
      10     = s
Zwei Dachflächen (Rechtecke)
2 * 10
* 12 = 240 cm2
Oberfläche einer Säule
5760 + 96 + 240 = 6096 cm2:

 (12 • 10) = 240
Oberfläche von 35 Säulen in m2
6096 * 35 = 213 360 cm2 = 21,336 m2

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 3

  1. Der Friseurgeselle Markus will sich ein Profi-Scheren-Set kaufen, das im Fachhandel für 489,99 € angeboten wird.
    1.  schere285 € hat er bereits gespart. Weitere Ersparnisse werden Markus erst zur Verfügung  stehen, wenn in 87 Tagen sein Sparvertrag ausläuft. Bis dahin muss er den fehlenden Betrag zu einem Zinssatz von 14,75 % finanzieren. Was würde das Set dadurch kosten?
    2. Im Internet wird das gleiche Set zum Kauf in 12 Monatsraten zu je 43,72 € angeboten. Wie viel kann er beim günstigeren Angebot sparen, wenn beim Internetkauf 5,95 € Versandgebühren anfallen?

Lösung

a) So viel fehlt Markus
    489,99 − 285 = 204,99 €
    So viel muss er für 204,99 € Zins zahlen
    Z = 204,99 : 100 · 14,75 : 360 · 87 = 7,307... ≈ 7,31
    So viel koste ihm das Set einschließlich Zinsen
    489,99 + 7,31 = 497,30 €
b) Zwölf Monfatsraten für das Set im Internet plus Versand
    43,72 • 12 + 5,95 = 530,59 €
    Ersparnis beim Kauf im Fachhandel
    530,59 − 497,30 = 33,29 €

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 4

Lösung

  1. Die Punkte A (−6,5 | 1,5) und B (−2,5 | 6,5) sind Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.
Finde den Mittelpunkt M des Fünfecks und zeichne das Bestimmungsdreieck AMB.

2009 BI 4 Loes1Koordinatensystem mit A(-6,5 | 1,5)
und B(-2,5 | 6,5)

2009 BI 4 Loes2 Mittelpunktswinkel:  360° : 5 = 72"
  Basiswinkel:  (180° - 72°) : 2 = 54°
Basiswinkel von 54° an A abtragen
2009 BI 4 Loes3
Basiswinkel von 54° an B abtragen

2009 BI 4 Loes4
Um Schnittpunkt M der beiden Winkelschenkel
einen Kreis mit Radius r = [AB] zeichnen
Zeichne das Fünfeck.
2009 BI 4 Loes5Teilkreise um A und B mit r = [AB]
Fünfte Ecke durch weiteren Teilkreis ermitteln
2009 BI 4 Loes6
Schittpunkte der Teilkreise mit dem Kreis um M
zu einem regelmäßigen Fünfeck verbinden

Angaben ohne Gewähr

zurück QA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe II

  1. Löse folgende Gleichung:
    QA-2009-b-II-1

Lösung

   6x − 2x + 10    = 3x + 18 + 0,5x
       4x    + 10     = 3,5x + 18     | -10
       4x                = 3,5x +  8     | -3,5x
      0,5x              =            8     | * 2
          x               =           16

zurückQA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe II

  1. Die Grundflächen eines Würfels und eines Zylinders haben den gleichen Flächeninhalt. Die Mantelfläche des Zylinders beträgt 64 cm2, seine Höhe 4,5 cm.
    Wie lang ist die Seitenkante des Würfels? Runde auf eine Dezimalstelle.

Lösung

QA-2009-b-II-2b

Umfang des Zylinders (= Länge des Mantels)
64 : 4,5 = 14,22 cm
Durchmesser des Zylinders (= Kreis)
U = d * 3,14
14,22 = d * 3,14
4,52  = d
Radius = 4,52 : 2 = 2,26 ≈ 2,3 cm

Kreisfläche
A = r2 * 3,14
A = 2,3 * 2,3 * 3,14 = 16,6106 ≈ 16,6 cm2
Quadrat = Kreis = 16,6 cm2

Seitenkante des Würfels
  a = √16,6 = 4,07... ≈ 4,1 cm

Angaben ohne Gewähr

zurück 2009 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 3

  1. Simone machte letztes Jahr ihren Führerschein mit 17 Jahren. Die Fahrschule berechnete ihr dafür folgende Kosten:

QA-2009-b-II-3

    1. Welchen prozentualen Anteil haben die Kosten für die Fahrstunden am gesamten Rechnungsbetrag?
    2. Wie hoch sind die gesamten im Rechnungsbetrag enthaltenen Steuern in Euro?

Lösung

a) Anteil der Fahrstunden = Übungsfahrten + Autobahnfahrten + Nachtfahrten + Überlandfahrten
   784 +135 + 135 + 225 = 1279 €
   Anteil der Fahrstunden in Prozent
   100 % = 1485 €
       1 % = 14,85 €
   1279 : 14,85 = 86,1 (%)

b) Im Rechnungsbetrag enthaltene Steuern
   19 % MWSt für Fahrten + Prüfungen
  1279 + 41 + 110 = 1430 €
   119 % = 1430 €
     19 % = 1430 / 119 * 19 = 228,319 ≈ 228,32 €
   7 % MWSt für Lehrbögen und Lehrbuch
   30 + 25 = 55 €
   107 % = 55 €
       7 % = 5 / 107 * 7 = 3,598  3,60 €
   Steuer insgesamt
   228,32 + 3,60 = 231,92 €

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe II

  1. QA-2009-b-II-4Sand wird mit einem Förderband zu einem kegelförmigen Berg aufgeschüttet (siehe Skizze). Sein Volumen beträgt 4200 m3.

Wie groß ist der Abstand zwischen dem Kegelrand  und dem unteren Ende des Förderbands?

Lösung

Grundfläche des Kegels
V =   G   * h   / 3
QA-2009-b-II-4c4200 = G * 18 / 3
  700 = G
Radius der Grundfläche
A       = r 2  * 3,14
700    = r 2  * 3,14   | : 3,14
222,9 = r 2                  | Wurzel
r 2      = 14,93... ≈ 14,9 m
Abstand des Förderbandes vom Mittelpunkt des Kegels
QA-2009-b-II-4ba 2  = 46 * 46 - 20 * 20
a 2  =    2116  - 400
a 2  =       1712          | Wurzel
a    = 41,42... ≈ 41,4 ,
Abstand vom Rand des Kegels
41,4 − 14,9 = 26,5 m

Angaben ohne Gewähr

zurück 2009 - Teil B: Aufgabengruppe III Nr. 1

  1. Bei der Vorstandswahl eines Vereins wurden insgesamt 98 Stimmen abgegeben. Frau Artner erhielt 12 Stimmen weniger als Herr Sauer. Herr Grünwald erhielt 33 Stimmen mehr als ein Viertel der Stimmen von Herrn Sauer. Auf die restlichen Kandidaten entfielen 14 Stimmen.Wer erhielt die meisten Stimmen und wie viele waren das? Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

   2009-b    +  2009-a +    2009-c              + 2009-d
Artner      +  Sauer
+    Grünwald           + Rest  = 98
sauer-12   + sauer   + sauer / 4 + 33       +  14     = 98
sauer-12   + sauer   + 0,25 sauer  + 33   +  14     = 98
2,25 sauer + 35                                                 = 98   | - 35
2,25 sauer                                                        = 63   | 2,25
       sauer                                                         = 28

Sauer:                          28 Stimmen
Artner:       28 -12      = 16 Stimmen
Grünwald: 28 / 4 +33 = 40 Stimmen
Rest:                          14 Stimmen

Statt des Namens sauer kann man auch die Variabel x verwenden.

zurück 2009 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 2

  1. Die Tabelle zeigt den Primärenergieverbrauch Deutschlands 2008. Der Verbrauch wird in SKE (Steinkohleeinheiten) gemessen.
    QA-2009-b-III-2

a) Im Jahr 2007 wurden 106,6 SKE (in Mio. t) Erdgas verbraucht.
    Berechne die Erhöhung in Prozent.
b) Der Kernenergieverbrauch erhöhte sich gegenüber 2007 um 5,7 %.
    Berechne den Verbrauch für das Jahr 2007.
c) Stelle die prozentualen Anteile der drei meistverbrauchten Energiequellen in
    einem Säulendiagramm dar (1 cm = 5 %).

Lösung

a) Anstieg des Erdgasverbrauchs von 2007 auf 2008 in SKE
   Verbrauch 2008 - Verbrauch 2007 = Anstieg in SKE
          109,5         -    106,6            = 2,9 SKE

   Anstieg von 2007 auf 2008 in Prozent
   QA-2009-b-III-2b100 % = 106,6 SKE
      1 % = 1,066 SKE
   2,9 : 1,066 = 2,72 (%)

b) Kernenergie 2008
   105,7 % = 55,3 SKE
   Kernenergie 2007
   100 % = 55,3 : 105,7 * 100 = 52,3 SKE

c) Grafische Darstellung rechts

Angaben ohne Gewähr

 

zurück2009 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr.3

  1. QA-2009-b-III-3

    Berechne den Umfang dieser Figur. Runde alle Ergebnisse auf eine Dezimalstelle.

Lösung

Umfang des Halbkreises
U = d * 3,14 : 2
U = 5,5 * 3,14 : 2 = 8,63 ≈ 8,6 cm

QA-2009-b-III-3b

Fehlede Strecke ? oben
6,3 * 6,3 =  5,5 * 5,5 + s2
   39,69   =    30,25    + s2    | -20,25
    9,44    =               + s2      | wurzel
     3,1     ≈                  s

Gesamter in Umfang
8,6 + 2 * 7,4 + 6,3 + 3,1 = 32,8 cm

Angaben ohne Gewähr

 

zurückQA 2009 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 4

  1. Die Schülerfirma stellt für das Abschlussfest 546 Buttons mit dem neuen schul-buttonSchullogo her. Es stehen 6 Button-Maschinen zur Verfügung.
    a) Mit einer Maschine können pro Stunde 26 Buttons mit dem Schullogo hergestellt werden. Wie lange dauert die Arbeit, wenn alle 6 Maschinen eingesetzt werden?
    b) Übertrage und vervollständige folgende Tabelle:
Anzahl der
Button-Maschinen
1 3 5
Stunden 21 7 4,2

Lösung

a) Buttons von einer Maschine in 6 Stunden
   26 * 6 = 156 Buttons
    Dauer der Arbeit bei 6 Maschinen
    546 : 156 = 3,5 Stunden

b) 3 Maschinen brauchen 7 Std. → 1 Maschine braucht dreimal so lang, also 21 Stunden.
    5 Maschinen brauchen den 5. Teil von einer Maschine → 21 Std. : 5 = 4,2 Stunden

Angaben ohne Gewähr

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