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Mathe-Quali 2010 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

 

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 1

Löse die Gleichung:

QA-2010-b-I-1

Lösung

Klammern ausmutliplizieren

 8 x − 1/4 * (4 x + 32) + 1/2 * (8 x - 4)  + 3 =  1/8 * (48 - 64 x) - (10 x - 35) * 1/5
          1/4 von Klammer 1     Hälfte Klammer 2             1/8 von Klammer 3        1/5 von Klammer 4

8 x −       x − 8          +     4x − 2      + 3 =          6 + 8x         −     2x + 7

Beide Seiten vereinfachen
                11x − 7                               =              6x + 13                | - 6x
                 5 x − 7                               =                  + 13                | + 7
                  5 x                                    = 20                                    | ; 5

                    x                                    = 4

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 2

Der Obsthändler Früchtl kauft in der Großmarkthalle 20 Kisten Pfirsiche.

    1. Eqa-2010-I-2r bezahlt dafür 209,40 €. Wie hoch sind seine Selbstkosten, wenn er 22 % Geschäftskosten dazurechnen muss?
    2.  Bis auf zwei Kisten Pfirsiche verkauft Herr Früchtl alle.  Er verlangt pro Kiste Pfirsiche 19,75 €; darin sind 7 % Mehrwertsteuer enthalten.  Wie viel Euro Gewinn konnte Herr Früchtl erzielen?

Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

a) Selbstkosten in €:
   100 % = 209,40
   122 % = 209,40 : 100 * 122 = 255,468 ≈ 255,47 €

b) Anzahl der verkauften Kisten:
    20 − 2 = 18
    Endpreis in €:
    19,75 • 18 = 355,50 €

    Verkaufspreis in €:
    107 % = 355,50
    100 % = 355,50 : 107 * 100 = 332,242... ≈ 332,24

    Gewinn in €:
    332,24 − 255,47 = 76,77

zurückQA QA 2010: Aufgabengruppe I, Nr. 3

 
QA-2010-b-I-31Im praktischen Unterricht wird zunächst ein massiver Würfel gefertigt (siehe Skizze; Maße in cm).
Dann werden genau so viele zylinderförmige Vertiefungen (siehe Skizze unten) ausgefräst, wie es Punkte auf einem üblichen Spielwürfel gibt.

 

QA-2010-b-I-32
QA-2010-b-I-3bBerechne das Volumen des fertigen Werkstücks.
Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

Kantenlänge eines Würfels in cm:
a2 + a2  =f2
2 a2 = 8,492 
a2 = 8,492 : 2
a2 = 72 : 2
a²   = 36
a    = 6,0033 ... ≈ 6,00
cm

Volumen eines Würfels in cm3:
  V = a • a • a =
  V = 6 * 6 * 6 = 216
cm3

Volumen eines gefrästen Zylinders in mm3:
  V =   G    • hK
  V = r2 • π • hK

  V = 62 • 3,14 • 3 = 339,12 mm3

Anzahl der Würfelpunkte:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Gesamtvolumen aller gefrästen Zylinder in mm3:
  21 • 339,12 = 7121,52
Gesamtvolumen des fertigen Werkstücks in cm3:
  216 − 7,12 = 208,88cm³

 

zurückQA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe I, Nr. 4

Peter ist gesund und hält sich fit.qa-2010-bI-4

  1. Berechne die Differenz seines Kalorienverbrauchs nach 1,5 Stunden bei folgenden Aktivitäten:
    -   Mountain-Biking: 140 kcal pro 15 Minuten
    -   Badminton: 94 kcal pro 15 Minuten
  2. Wie lange müsste Peter Badminton spielen, um so viele Kalorien zu verbrauchen wie bei einer 3,5-stündigen Mountain-Bike-Tour?

Lösung

a) Kalorienverbrauch in kcal:
    Mountain-Biking: 2010-badminton2010-mountainbike2010-15min
    15 min → 140 kcal
    90 min 140 • 6 = 840 kcal

     Badminton:
2010-badminton   2010-mountainbike 15 min → 94 kcal2010-90min
    90 min → 
94 • 6 = 564 kcal

    Differenz in kcal: 840 − 564 = 276 kcal

b) Kalorienverbrauch nach 3,5 Mountainbike (= 210 min)
2010-mountainbike   15 min → 140 kcal2010-210min
   60 min → 140 • 4 = 560 kcal
   3,5 h    560 • 3,5 = 1960 kcal
   Benötigte Zeit für 1960 kcal bei Badminton
   2010-badminton 15 min → 94 kcal
    60 min → 
94 • 4 = 376 kcal

   1960 : 376 = 5,212.. ≈ 5,21 h

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 1

21 Mitglieder einer Jugendgruppe machen eine Reise.
qa-2010-b-II-1b19 Jugendliche zahlen
den vollen Preis; 2 Teilnehmer erhalten einen Zuschuss und müssen jeweils nur 2/3 des regulären Preises bezahlen. Insgesamt werden von der Jugend-gruppe 2 440 € eingesammelt.

  • Wie viel kostet die Reise für einen Teilnehmer, der voll zahlt?
  • Wie viel Euro beträgt der Zuschuss insgesamt?

Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

Preis ohne Zuschuss:      
Preis mit Zuschuss:     2/3

19 Teiln. ohne Zuschuss    2 Teiln. mit Zuschuss         eingesammelt
        19  x                     +             2 *  2/3 x         =        2440             | * 3
         57 x                     +               4 x               =        7320
          61 x                                                        =         7320             | : 61
              x                                                        =           120

Regulärer Preis: 120 €
Zuschuss für 1 Teilnehmer: 120 € : 3 = 40 €
Zuschuss für 2 Teilnehmer:
80 €

zurück 2010 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 2

Wenger Jobs in der Industrie
Beschäftigte 2009 in Tausend
(Veränderungen zum Vorjahr in Prozent)
QA-2010-b-II-2
c) Wie viele Beschäftigte arbeiteten 2009 im Bereich Maschinenbau?
d) Wie viele Jobs gab es 2008 im Bereich Metallerzeugnisse?
e) Berechne den prozentualen Zuwachs in der Nahrungs- und
    Futtermittelindustrie, wenn 2008 dort 382 000 Beschäftigte arbeiteten.

 Lösung

a) Beschäftigte im Bereich Maschinenbau
     5039 − 717 - 470 - 388 - 362 - 305 - 1927 = 870 Tausend
b) Jobs 2008 im Bereich Metallerzeugnisse
    Rückgang: 6,5 %
    93,5 % = 
470 Tausend
   100 %   =
470 : 93,5 • 100 = 502,6... ≈ 503
Tausend
c) Zuwachs in der Nahrungs- und Futtermittelindustrie 2008 zu 2009 in %:
     382 000 = 100 %
       3 820   =    1 %
     388 000 = 388 000 : 3820 = 101,57... ≈ 101,6 %
     101,6 − 100 = 1,6 (%)

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe II, Nr. 3

Familie Schön besitzt zwei Sparverträge:
sparvertrag10 000 € hat sie als Festgeld zu einem Zinssatz von 3,25 % angelegt. Die zweite Geldanlage ist zu 5 % verzinst und bringt halbjährlich 125 € Zinsen.
Auf welchen Betrag ist ihr gesamtes Kapital einschließlich Zinsen nach einem Jahr angewachsen?

Lösung

Festgeld incl. Zinsen nach einem Jahr in €:
10 000 : 100 • 103,25 = 10325 €

Weitere Geldanlage incl. Zinsen nach einem Jahr in €:
Zinsen in 1 Jahr:
125 € * 2 = 250 €

Kapital
   5 % = 250 €
   1 % = 250 € : 5 = 50 €
100 % = 50 * 100 = 5 000 €

Kapital plus Zins nach 1 Jahr
5 000 + 250 = 5 250 €

Gesamtes Kapital incl. Zinsen nach einem Jahr in €:
10 325 + 5 250 = 15 575 €

zurückQA 2010QA-2010-b-II-4: Aufgabengruppe II, Nr. 4

In ein größeres gleichseitiges Dreieck ist ein kleineres gleichseitiges Dreieck schraffiert eingezeichnet (siehe Skizze).
Wie groß ist der Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks?
Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.

LösungQA-2010-bII-4b

Höhe des größeren Dreiecks in cm:
h² =   3,8² -  1,9²
h² = 14,44 - 3,61
h² =     10,83               | wurzel
h  = 3,290... ≈ 3,29

Flächeninhalt des großen Dreiecks
A = g * h / 2
A = 3,8 * 3,29 / 2 = 6,251 cm²

Flächeninhalt des kleineren schraffierten Dreiecks in cm²:
6,251 : 4 = 1,562... ≈ 1,56 cm²

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 1

Löse folgende Gleichung:
0,25 • (27x − 144) − (23 + x) • 2,5 = 0,7 • (35 − 10x) − 3,5x

Lösung

Klammern ausmulitiplizieren, Vorzeichen beachten!!

0,25 • (27x − 144) (23 + x) • 2,5  = 0,7 • (35 − 10x) − 3,5x
    6,75 x − 36         57,5 2,5 x   =     24,5 − 7x     − 3,5x

Beide Seiten vereinfachen
       4,25 x − 93,5                         =     24,5 − 10,5x               | + 10,5 x
       4,25 x − 93,5                         =     24,5 − 10,5x               | + 93,5
     
14,75 x                                  = 118                                 | : 14,75

               x                                   = 8

zurückQA 2010: Aufgabengruppe III, Nr. 2

Berechne den Flächeninhalt der Figur (siehe Skizze).

QA-2010-b-III-2Die Länge der abgebildeten Halbkreislinie beträgt 14,13 cm.

Lösung

Umfang des ganzen Kreises
14,13 * 2 = 28,26 cm

Durchmesser des Kreises in cm:
dK = 28,26 : 3,14 = 9 cm

Halbkreisfläche
AHK = 4,52 • 3,14 : 2 = 31,79... ≈ 31,8 cm²

Flächeninhalt des Rechtecks in cm²:QA-2010-b-III-2b
AR = 9 • 4 = 36 cm²

Fläche der beiden Dreiecke
ADreiecke = 2 • 4,5 • 3,2 : 2 = 14,4 cm²

Gesamtfläche in cm²:
Ages = 31,8 + 36 + 14,4 = 82,2 cm²

zurück QA 2010 - Teil B: Aufgabengruppe III, Nr. 3

Südafrika – das Land der Fußballweltmeisterschaft:
QA-2010-b-III-3
a) Um wie viel Prozent ist die Landfläche Südafrikas größer als die Deutschlands?
b) Wie viele Kinder unter 15 Jahren lebten 2008 in Südafrika?
c) 2008 lebten in Deutschland 11 253 180 Kinder unter 15 Jahren.
    Berechne die Gesamtbevölkerung Deutschlands.
d) Berechne die Bevölkerungsdichte Südafrikas (Personen pro km2).

 Lösung

a) Vergleich der Landfläche Südafrikas gegenüber Deutschland in %:
   100 % = 348 770 km2
      1 % =     3 487,7 km2
   1 214 470 : 3487,70 = 348,2... ≈ 348  %
         348 − 100 = 248 %

b) Anzahl der Kinder unter 15 in Südafrika:
    100 % = 48 687 000
        1 % = 486 870
   36,76 % = 485 870 • 30,76 = 14 976 121,2 ≈ 14 976 000
Kinder
c) Gesamtbevölkerung Deutschlands:
  
13, 7 % = 11 253 180
   100 %   = 11 253 180 : 13,70 • 100 = 82 140 000 Einwohner

d) Bevölkerungsdichte in Südafrika (Personen/km2):
   48 687 000 : 1 214 470 = 40,089... ≈ 40,09 Personen pro km2

 

zurück QA 2010 - Aufgabengruppe III, Nr. 4

Lösung 

  1. Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte B (1,5 | −1) und D (−5 | 3,5) ein.
  1. Der Punkt M halbiert die Strecke [BD]. Trage M ein.

2010 BIII 4 Loes1

Punkte B (1,5 | -1) und D (-5 | 3,5)

2010 BIII 4 Loes2

Mittelpunkt M der Strecke [BD]

  1. Die Strecke [MB] ist eine Seite des gleichseitigen Dreiecks MBC. Zeichne dieses Dreieck.

2010 BIII 4 Loes3

Teilkreis um B mit Radius r = [BM]
Teilkreis um M mit Radius r = [BM]

2010 BIII 4 Loes4

Schnittpunkt der beiden Teilkreise ist die
fehlende Ecke des gleichseitigen Dreiecks MBC

  1. Die Strecke [BC] ist eine Diagonale der Raute MBEC. Zeichne die Raute.

2010 BIII 4 Loes5Teilkreis umd B mit Radius r = [BM]
Teilkreis umd C mit Radius r = [CM]

2010 BIII 4 Loes6Schnittpunkt der beiden Teilkreise ist die
fehlende Ecke des Raute MBEC

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