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Mathe-Quali 2013 - Teil B: Aufgaben mit Lösungen

 

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. I/1

Ein Stadion fasst insgesamt 65 700 Zuschauer. Es gibt vier Arten von Plätzen:

Die Anzahl der Sitzplätze ist viermal so groß wie die der Stehplätze. Für die Presse stehen 12 600 Plätze weniger zur Verfügung als es Stehplätze gibt. Es gibt dreimal so viele Logenplätze wie Presseplätze.

Berechne für jede Art die Anzahl der Plätze.
Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Lösung

Als Variabel für die Stehplätze wird st verwendet.

2013-bI-1-I

        st        +               4 * st          +       st - 12 600   +   3 (st -12 600)    =   65 700
        st       +                4 * st          +       st - 12 600   +   3 st - 37 800     =   65 700
                                    9 st                -  50 400                       = 65 700   | + 50 400
                                    9 st                                                    = 116 100  | : 9
                                       st                                                    = 12 900

Stehplätze:                               12 900
Sitzplätze: 4 * 12 900             = 51 600
Presseplätze: 12 900 - 12 600 =     300
Logenplätze:  3 * 300              =     900

 Statt der Variablen st für die Zahl der Stehplätze kann auch die Variable x verwendet werden.

 Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. I/2

Berechne den Flächeninhalt der fett umrandeten Figur (siehe Skizze).
Der Flächeninhalt der schraffierten rechteckigen Teilfläche beträgt 39,96 cm²
(Skizze nicht maßstabsgetreu).
2013-BI-2

Lösung

Länge a des schraffierten Rechtecks
      A    = a * b
   39,96 = a * 3,7    | : 3,7
    10,8  = a

   2013-BI-2-l
Höhe h des roten Dreiecks

   Die Höhe h ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks.
   Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
   h² + 10,8² = 13,5²
   h             =   8,1 cm

Grundline g des roten Dreiecks
  
3,4 cm + 10,8 cm = 14,2 cm

Fläche des roten Dreiecks
   A =   g   *   h : 2
   A = 14,2 * 8,1 : 2 = 57,51

Gesamtfläche
   39,96 + 57,51 = 97,47 cm²

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. I/3

Valentin will mit Anna in Spanien Urlaub machen. Im Internet finden sie folgendes Angebot für sieben Übernachtungen:
- Flüge pro Person: 249 €
- Doppelzimmer pro Person und Nacht: 39 €
a) Wie viel kostet die Reise für beide zusammen?
b) Wenn sie bei Buchung des Hotels sofort bezahlen, bekommen sie 9 %
    Nachlass auf den Zimmerpreis.
    Wie viel würde dann die Reise insgesamt für beide kosten?
c) In der Nebensaison kostet dasselbe Hotelzimmer nicht mehr 39 €,
    sondern 32 €.
    Wie hoch ist der prozentuale Preisnachlass?

Lösung

a) Gesamtpreis
boyplane  +bedbedbedbedbedbedbed  
girlplane  + bedbedbedbedbedbedbed
          2 Flüge   +            2 * 7 Übernachtungen
              249      +            2 *  7   * 39                      = 1 044 €

b) Preis für eine Übernachtung bei 9 % Nachlass
   100 % = 39 €
     91 % = 39 / 100 * 91 = 35,49 €
   Gesamtpreis bei 9 % Nachlass aufs Hotel
   2 Flüge + 2 * 7 Übernachtungen
   2 * 249  + 2 * 7 * 35,49                         = 994,86 €

c) Preisnachlass für die Übernachtung in der Nebensaison in %
    Nachlass in Euro: 39 - 32 = 7 €
    100 %  = 39 €
        1 %  = 0,39 €
    7 / 0,39 = 17,9 %

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. I/4

  1. In einer Projektprüfung werden ein Obstkuchen und eine Torte hergestellt. Ein Stück Torte kostet im Verkauf 30 Cent mehr als ein Stück Obstkuchen.
    a) Berechne die gesuchten Werte (?) in der Tabelle:
      Verkaufspreis
     Stückzahl    Obstkuchen       Torte         
     1 1,20 1,50
     3  3,60 € 4,50
    7 8,40 10,50 €
    Rechenweg:

obstkuchen Obstkuchen:
3 Stück: 3,60 €

1 Stück: 3,60 € : 3 = 1,20 €

torte Torte:
1 Stück: Obstkuchen + 0,30 €
1 Stück =  1,20 €      + 0,30 € = 1,50 €
              10,50 € : 1,50 € = 7 Stück

obstkuchen Obstkuchen:
1 Stück: 1,20 €
7 Stück: 1,20 € * 7 = 8,40 €

b) Stelle die Zuordnungen (Preis - Anzahl Stücke) in einem gemeinsamen
    Koordinatensystem dar.
    Rechtswert: 1 Stück = 1 cm
    Hochwert:         1 €  = 1 cm

2013-BI-4b

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. II/1

Löse folgende Gleichung:
2013-BII-1       | * 20

Lösung

2 * (x + 3) * 4 - 16,5 * 20 = (2x - 6) * 5 - 6 * (3x -2) * 20 + 10 * 20
   8 x + 24       - 330          =  10x - 30     - 360 x  + 240     +    200   
         8 x - 306                   = -       350 x                 + 410                | + 306 + 350 x
               358 x                  = 716                                                      | : 358
                      x                  = 2 

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. II/2

Lösung

  1. Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm die Punkte D(-1|4,5) und B(2|-0,5) und verbinde sie zur Strecke [BD],
  1. Zeichne die Mittelsenkrechte zu [BD]. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit [BD] ist M.

2013 BII 2 Loes1Koordinatensystem mit B(2|-0,5) und D(-1|4,5)

2013 BII 2 Loes2Mittelsenkrechte zur Strecke [BD] durch M

  1. Zeichne eine Kreis  um M mit r = [MD].
  1. Zeichne das Dreieck ABD, bei dem A ein Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Kreis ist.

2013 BII 2 Loes3Kreis um M mit Radius r = [MD]

2013 BII 2 Loes4Schnittpunkt A des Kreises mit der Mittel-
senkrechten  und Dreick ABD

  1. Ergänze das Dreieck ABD zu einem Drachenviereck ABCD, in dem gilt: [MC] = 2 * [AM].

2013 BII 2 Loes5Punkt C auf der Mittelsenkrechten, der doppelt
so weit von M entfernt ist wie Punkt A

2013 BII 2 Loes6Die Punkte A, B, C und D zum 
Drachenviereck ABCD verbunden

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. II/3

  1. Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der abgeschlossenen Mobilfunkverträge in den Jahren 2005 bis 2011:

     Jahr   Mobilfunkverträge in Millionen   Anstieg nach zwei Jahren 
     2005    79,29 22,56 %
     2007    97,15  22,52 %
     2009  108,26  ?
    2011 ? 1,44 %

    a) Berechne den prozentualen Anstieg der Mobilfunkverträge
        von 2007 auf 2009.
    b) Wie viele Mobilfunkverträge waren im Jahr 2011 abgeschlossen?
    c) Stelle für die angegebenen Jahre von 2005 bis 2011 die Mobilfunkverträge
        in einem Säulendiagramm dar. (Einheit 10 Mio. = 1 cm)

Lösung

a) Anstieg von 2007 auf 2009 in %
2007:   100 % = 97,15 Mio.
              1 % = 0,9715 Mio.
2009:   108,26 / 0,9715 = 111,4 %
Anstieg:     111,4 - 100 = 11,4 %

b) Abgeschlossene Mobilfunkverträge 2011
Jahr 2009: 100 %     = 108,26 Mio.
Jahr 2011: 101,44 % = 108,26 : 100 * 101,44 = 109,82 Mio.

c) Diagramm
2013-BII-3b

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. II/4

Für ein Schulfest sollen Tischlichter hergestellt werden. Dazu werden Gläser außen (ohne Boden und ohne Deckel) mit Transparentpapier beklebt.
a) Um das zylinderförmige Glas mit dem Radius r = 6 cm und
    der Höhe h = 18 cm wird gelbes Transparentpapier geklebt.
    Berechne die beklebte Glasfläche.
b) Zur Verzierung werden darauf vier gleichseitige Dreiecke (a = 5 cm)
    aus rotem Papier geklebt.
    Wie groß ist der Flächeninhalt dieser vier Dreiecke insgesamt?
c) Berechne, ob 3 m² gelbes Transparentpapier für 45 Lichter reichen.

Lösung
2013-BII-4

a) Beklebte Glasfläche
d = 6 cm * 2 = 12 cm
2013-BII-4-lHöhe eines aufgeklebten, gleichseitigen DreiecksMantel = Umfang * hk
Mantel = d * 3,14 * hk
Mantel = 12 * 3,14 * 18 = 678,24 cm²

b) Höhe eines Dreiecks
h² = 5² - 2,5²
h = 4,33 cm
Fläche der vier Dreiecke
A = 4 * g * h / 2
A = 4 * 5 * 4,33 / 2 = 43,3 cm²

c) Fläche des gelben Transparentpapieres für 45 Lichter
45 * 678,24 cm² = 30 530,8 cm² = 3,05 m²
3 m² reichen nicht ganz für die 45 Lichter.

 

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. III/1

Löse folgende Gleichung:

-4,9 x + 0,5*(6x + 4) - 4*(0,85 - 1,1x) = (-11,25 x + 40)*0,2 + 19,1

Lösung

-4,9 x + 0,5*(6x + 4) - 4*(0,85 - 1,1x) = (-11,25 x + 40)*0,2 + 19,1
-4,9 x +     3 x + 2   -    3,4 + 4,4 x   =      - 2,25 x + 8      + 19,1
              2,5 x        -          1,4         =     - 2,25 x        +      27,1    | + 1,4
            4,75 x                                 =                               28,5     | : 4,75
                   x                                 =                                 6

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. III/2

2013-BIII-2Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder und zwei identischen Kegeln (siehe Skizze)
Sein Volumen beträgt 911 cm³.

Berechne die Höhe des Zylinders.

Skizze nicht maßstabsgetreu

Lösung

Höhe des Kegels
hk² = 11,67² - 6²
hk  ≈ 10 cm

Volumen des Kegels
V = 6² * 3,14 * 10 / 3 = 376,8 cm³

Volumen des Zylinders
911 - 2 * Kegel
911 - 2 * 376,6 = 157,4

Höhe des Zylinders
hz = Volumen : Grundfläche
hz = 157,4 : (6² * 3,14)  1,39 cm

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. III/3

 

Preise für Taxifahrten in ausgewählten bayerischen Städten in Euro:
München   Augsburg   Nürnberg
Grundpreis pro Fahrt 3,30   Grundpreis pro Fahrt ?   Grundpreis pro Fahrt 2,90
für die ersten 5 km
pro km
1,70   für den ersten km 2,50   für den ersten km 2,80
jeder weitere km 1,50   jeder weitere km 1,50   jeder weitere km ?


a) Herr Reisig fährt mit dem Taxi eine 35 km lange Strecke von München
    zum Flughafen. Berechne den Fahrpreis.
b) Frau Städele bezahlt für eine 8 km lange Taxifahrt in Augsburg 16 €.
    Berechne den Grundpreis.
c) Wie hoch ist der Kilometerpreis für jeden weiteren gefahrenen Kilometer
    in Nürnberg, wenn Frau Laufer für eine 12 km lange Fahrt 21,10 € bezahlt?

Lösung

a) Fahrpreis zum Flughafen
Grundpreis + ersten 5 km + 30 km
     3,30     + 5 * 1,70       + 30 * 1,50 = 56,80 €

b) Grundpreis in Augsburg
Fahrpreis - Preis 1. km - Preis restliche 7 km
     16      -    2,50        - 7 * 1,50 = 3 €

c) km-Preis für jeden weiteren gefahrenen km in Nürnberg
(Fahrpreis - Grundpreis - Preis 1. km) : 11
(   21,10   -      2,90      -     2,80       ) : 11 = 1,40 €

Angaben ohne Gewähr

zurückQA 2013, Teil  B - Lösungen: Nr. III/4

Das Schaubild zeigt, wie ein neuer PKW im Laufe der Jahre durchschnittlich an Wert verliert:
a) Ein Neuwagen kostet 25 900 €.
    Welchen Wert hat er nach 6 Jahren?
b) Wie hoch ist sein durchschnittlicher monatlicher Wertverlust
    innerhalb der ersten 5 Jahre in Euro?
c) Der Wert eines weiteren PKW ist nach acht Jahren auf 5 970 €
    gefallen. Wie groß war der Wert als Neuwagen?

Lösung

2013-BIII-4-l
a) Wert nach 6 Jahren
Neuwert:          100 % = 25 900 €
                           1 % = 259 €
Wert nach 6 J.:   35 % = 259 * 35 = 9 065 €

b) Durschnittlich monatlicher Wertverlust
5 Jahre = 5 * 12 Monate = 60 Monate
Neuwert:              100 % = 25 900 €
                               1 % = 259 €
Wertverlust in 5 J. : 60 % = 259 * 60  = 15 540 €
Wertverlust im Monat:                          15 540 : 60 = 259 €

c) Wert beim Kauf vor 8 Jahren
Wert nach 8 J.:        30 % = 5 970 €
Neuwert:               100 % = 5 970 : 30 * 100 = 19  900 €

Angaben ohne Gewähr

 

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